ارتفاع (مثلث)

سه ارتفاع مثلث

ارتفاع یک مثلث در هندسه عبارت است از پاره‌خطی که از یک رأس آغاز می‌شود و بر ضلع مقابل مثلث (یا امتداد آن) عمود است (زاویه قائمه تشکیل می‌دهد). محل برخورد ارتفاع با قاعده یا امتداد آن، پای عمود نام دارد. معمولاً به طول ارتفاع همان ارتفاع گفته می‌شود که برابر است با فاصلهٔ میان رأس و قاعده (یا قاعدهٔ امتدادیافته).

از ارتفاع در محاسبهٔ مساحت مثلث استفاده می‌شود که برابر است با نصف حاصل ضرب طول ارتفاع در قاعدهٔ آن. در نتیجه بلندترین ارتفاع به کوتاه‌ترین قاعدهٔ مثلث عمود می‌شود. ارتفاع مثلث به مبحث توابع مثلثاتی نیز مرتبط است. یکی از ارتفاع‌های مثلث منفرجه، بیرون شکل است

قضیه‌های مرتبطویرایش

ارتفاع و پیرامون مثلثویرایش

برای هر مثلثی با اضلاع a, b، c و نصف محیط برابر با s = (a+b+c) / 2 طول ارتفاع رسم شده از رأس a برابر است با:

h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.

این نتیجه از فرمول هرون بدست آمد.

دایرهٔ محاطیویرایش

فرض کنید مثلثی با اضلاع a, b، c و ارتفاع‌های h_a, h_b, و h_c داریم. اگر شعاع دایرهٔ محاطی را r بنامیم، رابطهٔ زیر برقرار خواهد بود:

\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.

دایرهٔ محیطیویرایش

اگر ارتفاع رسم شده از یک رأس را h_a، دو ضلع دیگر را به ترتیب b و c و شعاع دایرهٔ محیطی را R بنامیم. آنگاه داریم:^[۱]^{:p٫ ۷۱}

h_{a}={\frac {bc}{2R}}.

نقطهٔ درونیویرایش

اگر p₁, p₂, و p₃ به ترتیب فاصلهٔ نقطهٔ دلخواه P از اضلاع مثلث باشند و h₁, h₂, و h₃ شعاع‌های متناظر باشند، آنگاه رابطهٔ زیر درست خواهد بود:^[۱]^{:p٫ ۷۴}

{\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.

مساحتویرایش

اگر ارتفاع‌های رسم شده از رأس‌های a, b و c به ترتیب $h_{a}$ , $h_{b}$ , و $h_{c}$ باشند با فرض داشتن $H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2$ ، رابطهٔ زیر برقرار خواهد بود:^[۲]

\mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.

نقطه‌ای دلخواه روی ارتفاعویرایش

اگر E نقطه‌ای دلخواه بر روی ارتفاع AD از مثلث ABC باشد آنگاه:^[۳]^:۷۷–۷۸

AC^{2}+EB^{2}=AB^{2}+CE^{2}

مثلث‌های ویژهویرایش

مثلث متساوی الاضلاعویرایش

برای هر نقطهٔ دلخواه P در یک مثلث متساوی‌الاضلاع، مجموع خط‌های عمود رسم شده از آن نقطه بر روی اضلاع مثلث برابر است با طول ارتفاع مثلث. به این مطلب، قضیهٔ ویویانی می‌گویند.

مثلث قائم‌الزاویهویرایش

در یک مثلث قائم‌الزاویه، با فرض ارتفاع‌های h_a, h_b, و h_c (واضح است که دو ارتفاع خود همان دو ضلع مثلث اند) رابطهٔ زیر میان سه ارتفاع مثلث برقرار است:^[۴]^[۵]

{\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{h_{c}^{2}}}.

مرکز ارتفاعیویرایش

به محل همرسی ارتفاع‌ها مرکز ارتفاعی مثلث گویند( $H$ ). خط اویلر مثلث از مرکز ارتفاعی نیز می‌گذرد.

مثلث پادکویرایش

مثلث abc مثلث پادک ABC است

اگر محل برخورد ارتفاع‌ها با اضلاع به‌ترتیب $a,b,c$ باشد، مثلث $abc$ مثلث پادک می‌گوییم. ارتفاع‌های مثلث، نیمساز‌های مثلث پادک هستند، و مرکز ارتفاعیِ مثلث، مرکز دایره محاطی مثلث پادک است.

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش

↑ ^۱٫۰ ^۱٫۱ Johnson, Roger A. , Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. , 2007 (orig. 1929).
↑ Mitchell, Douglas W. , "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
↑ Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover Publishing Co. , second revised edition, 1996.
↑ Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.
↑ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.

[Johnson-1] ۱٫۰ ^۱٫۱ Johnson, Roger A. , Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. , 2007 (orig. 1929).

[2] Mitchell, Douglas W. , "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.

[Posamentier-3] Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover Publishing Co. , second revised edition, 1996.

[4] Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.

[5] Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]