تابع مولد گشتاور یا تابع مولد ممان یا ام جی اف (به انگلیسی : Moment-generating function آمار و احتمالات است. با داشتن تابع مولد ممان یک متغیر تصادفی می‌توان توزیع احتمالی آن را به‌طور کامل تعریف نمود. علاوه بر توزیع‌های یک متغیره تابع مولد گشتاور را می‌توان برای متغیرهای تصادفی برداری یا ماتریسی نیز تعریف کرد. تابع مولد گشتاور (بر خلاف تابع مشخصه ) همیشه قابل تعریف نیست.
در آمار و احتمال تابع مولد گشتاور(MGF) برای متغیر تصادفی X به صورت زیر تعریف می‌شود.
M
X
(
t
)
:=
E
[
e
t
X
]
,
t
∈
R
,
{\displaystyle M_{X}(t):=E\left[e^{tX}\right],\quad t\in \mathbb {R} ,}
هر گاه این امید ریاضی وجود داشته باشد
M
X
(
0
)
{\displaystyle M_{X}(0)}
1
{\displaystyle 1}
نکته مهمی که دربارهٔ این تابع وجود دارد این است که این تابع ممکن است وجود نداشته باشد چون نمی‌توان گفت که انتگرال مطلقاً همگرا است.
به صورت کلی اگر
X
=
(
X
1
,
…
,
X
n
)
{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})}
n
{\displaystyle n}
t
x
{\displaystyle tx}
t
⋅
X
=
t
T
X
{\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {X} =\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }
M
X
(
t
)
:=
E
(
e
t
T
X
)
.
{\displaystyle M_{\mathbf {X} }(\mathbf {t} ):=E\left(e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }\right).}
علت تعریف تابع مولد گشتاور به این شکل ویرایش
علت تعریف تابع مولد گشتاور به این شکل این است که می‌توان از آن برای یافتن تمامی گشتاورها (moment) استفاده کرد. اگر تابع
e
t
X
{\displaystyle e^{tX}}
e
t
X
=
1
+
t
X
+
t
2
X
2
2
!
+
t
3
X
3
3
!
+
⋯
.
{\displaystyle e^{tX}=1+tX+{\frac {t^{2}X^{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}X^{3}}{3!}}+\cdots .}
بنابراین
M
X
(
t
)
=
E
(
e
t
X
)
=
1
+
t
E
(
X
)
+
t
2
E
(
X
2
)
2
!
+
t
3
E
(
X
3
)
3
!
+
⋯
+
t
n
E
(
X
n
)
n
!
+
⋯
=
1
+
t
m
1
+
t
2
m
2
2
!
+
t
3
m
3
3
!
+
⋯
+
t
n
m
n
n
!
+
⋯
,
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{X}(t)=\mathbb {E} (e^{t\,X})&=1+t\,\mathbb {E} (X)+{\frac {t^{2}\,\mathbb {E} (X^{2})}{2!}}+{\frac {t^{3}\,\mathbb {E} (X^{3})}{3!}}+\cdots +{\frac {t^{n}\,\mathbb {E} (X^{n})}{n!}}+\cdots \\&=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}m_{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {t^{n}m_{n}}{n!}}+\cdots ,\end{aligned}}}
که
m
i
{\displaystyle m_{i}}
اگر از M X مشتق بگیریم و قرار دهیم
t
=
0
{\displaystyle t=0}
تابع مولد گشتاور توزیع‌های مختلف ویرایش
توزیع
تابع مولد گشتاور
(M X t
(Characteristic function φ(t
توزیع برنولی
P
(
X
=
1
)
=
p
{\displaystyle \,P(X=1)=p}
1
−
p
+
p
e
t
{\displaystyle \,1-p+pe^{t}}
1
−
p
+
p
e
i
t
{\displaystyle \,1-p+pe^{it}}
توزیع دوجمله‌ای (l B(n, p
(
1
−
p
+
p
e
t
)
n
{\displaystyle \,(1-p+pe^{t})^{n}}
(
1
−
p
+
p
e
i
t
)
n
{\displaystyle \,(1-p+pe^{it})^{n}}
توزیع پواسون (Pois(λ
e
λ
(
e
t
−
1
)
{\displaystyle \,e^{\lambda (e^{t}-1)}}
e
λ
(
e
i
t
−
1
)
{\displaystyle \,e^{\lambda (e^{it}-1)}}
توزیع یکنواخت (U(a, b
e
t
b
−
e
t
a
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle \,{\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}
e
i
t
b
−
e
i
t
a
i
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle \,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}
توزیع نرمال (N(μ, σ2
e
t
μ
+
1
2
σ
2
t
2
{\displaystyle \,e^{t\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}
e
i
t
μ
−
1
2
σ
2
t
2
{\displaystyle \,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}
Chi-square χ2 k
(
1
−
2
t
)
−
k
/
2
{\displaystyle \,(1-2t)^{-k/2}}
(
1
−
2
i
t
)
−
k
/
2
{\displaystyle \,(1-2it)^{-k/2}}
توزیع گاما
(Γ(k, θ
(
1
−
t
θ
)
−
k
{\displaystyle \,(1-t\theta )^{-k}}
(
1
−
i
t
θ
)
−
k
{\displaystyle \,(1-it\theta )^{-k}}
توزیع نمایی (Exp(λ
(
1
−
t
λ
−
1
)
−
1
{\displaystyle \,(1-t\lambda ^{-1})^{-1}}
(
1
−
i
t
λ
−
1
)
−
1
{\displaystyle \,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}}
Multivariate normal N (μ , Σ
e
t
T
μ
+
1
2
t
T
Σ
t
{\displaystyle \,e^{t^{\mathrm {T} }\mu +{\frac {1}{2}}t^{\mathrm {T} }\Sigma t}}
e
i
t
T
μ
−
1
2
t
T
Σ
t
{\displaystyle \,e^{it^{\mathrm {T} }\mu -{\frac {1}{2}}t^{\mathrm {T} }\Sigma t}}
Degenerate δa
e
t
a
{\displaystyle \,e^{ta}}
e
i
t
a
{\displaystyle \,e^{ita}}
توزیع لاپلاس (L(μ, b
e
t
μ
1
−
b
2
t
2
{\displaystyle \,{\frac {e^{t\mu }}{1-b^{2}t^{2}}}}
e
i
t
μ
1
+
b
2
t
2
{\displaystyle \,{\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}}
توزیع کشی (Cauchy(μ, θ
not defined
e
i
t
μ
−
θ
|
t
|
{\displaystyle \,e^{it\mu -\theta |t|}}
Negative Binomial NB(r, p
(
1
−
p
)
r
(
1
−
p
e
t
)
r
{\displaystyle \,{\frac {(1-p)^{r}}{(1-pe^{t})^{r}}}}
(
1
−
p
)
r
(
1
−
p
e
i
t
)
r
{\displaystyle \,{\frac {(1-p)^{r}}{(1-pe^{it})^{r}}}}
جمع متغیرهای تصادفی مستقل ویرایش
اگر که
X 1 , X 2 , ... , X n متغیرهای تصادفی مستقل از هم باشند (لازم نیست توزیع یکسانی داشته باشند) و
S
n
=
∑
i
=
1
n
a
i
X
i
,
{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},}
که در آن
a
i
{\displaystyle a_{i}}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
کانولوشن توابع چگالی احتمال
X
i
{\displaystyle X_{i}}
M
S
n
(
t
)
=
M
X
1
(
a
1
t
)
M
X
2
(
a
2
t
)
⋯
M
X
n
(
a
n
t
)
.
{\displaystyle M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)\,.}
متغیرهای تصادفی برداری ویرایش
برای متغیر تصادفی
X
{\displaystyle X}
M
X
(
t
)
=
E
(
e
⟨
t
,
X
⟩
)
{\displaystyle M_{X}(t)=E\left(e^{\langle t,X\rangle }\right)}
که
t
{\displaystyle t}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
ضرب داخلی است.
مهمترین خاصیت این تابع این است که اگر ۲ توزیع تابع مولد گشتاور یکسانی داشته باشند توزیع آن دو در تمام نقاط یکی است؛ بنابراین اگر برای تمامی مقادیر
t
{\displaystyle t}
M
X
(
t
)
=
M
Y
(
t
)
,
{\displaystyle M_{X}(t)=M_{Y}(t),\,}
آنگاه:
F
X
(
x
)
=
F
Y
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)=F_{Y}(x)\,}
رابطه بالا برای هر x برقرار است (یعنی توزیع X و Y یکی است). توجه شوداین گزاره با گزاره زیر متفاوت است.
اگر دو توزیع گشتاورهای یکسان داشته باشند در تمامی نقاط یکسان هستند. چون در بعضی موارد گشتاور وجود دارد ولی تابع مولد گشتاور وجود ندارد چون در بعضی موارد حد
lim
n
→
∞
∑
i
=
0
n
t
i
m
i
i
!
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=0}^{n}{\frac {t^{i}m_{i}}{i!}}}
وجود ندارد برای مثال توزیع لگ نرمال از این دسته است.
کاربرد تابع مولد گشتاور ویرایش
گشتاورهای یک متغیر تصادفی را می‌توان به سادگی از طریق تابع مولد گشتاور و بدون نیاز به انتگرالگیری بدست آورد:
E
(
Y
n
)
=
m
Y
(
n
)
(
0
)
=
d
n
m
Y
(
t
)
d
t
n
|
t
=
0
{\displaystyle E\left(Y^{n}\right)=m_{Y}^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}m_{Y}(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}}
![{\displaystyle M_{X}(t):=E\left[e^{tX}\right],\quad t\in \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/039fb822782012c8cc6f17ab398d07fd1cf4f445)
