تاو (ریاضی)

کرل (به انگلیسی: Curl) یا تاو یا روتاسیونل (به فرانسوی: Rotationnel) عملگری برداری در فضای اقلیدسی سه بعدی است که برابر با بردار چرخش در یک نقطه از میدان برداری است.

تعریفویرایش

کرل یا تاو میدان برداری A که با هر یک از نمادهای  ،  ،  ،  ،  ، و یا curl A نمایش داده می‌شود، برداری است که اندازه آن حداکثر گردش خالص A در واحد سطح است وقتی‌که اندازۀ سطح به سوی صفر میل می‌کند و جهت آن جهت عمود سطح است زمانی که سطح طوری جهت داده شده‌باشد که گردش خالص را حداکثر نماید.

که این تعریف را می توان به صورت زیر نوشت:

 
The components of F at position r, normal and tangent to a closed curve C in a plane, enclosing a planar vector area A = A.

 

سمت راست انتگرال خطی روی ناحیه ی بینهایت کوچکِ C است كه به سمت صفر میل می کند. و n بردار نرمال ناحیه ی C است.

میدان برداری بدون کرل، میدان غیرگردشی یا یا ناگردان یا میدان ذخیره‌شونده نامیده‌می‌شود.

در عمل فرمول بالا به ندرت برای محاسبه ی کرل استفاده می شود.از فرمول زیر برای محاسبه ی آن استفاده می شود:

 

که معادل است با دترمینان ماتریسی زیر:

 

نمایش تنسوری آن به صورت زیر است:

 

در اینجا مطابق سنت اینشتین اندیس تکرار شونده نشانهٔ جمع بر اندیس است و   عملگر مشتق (دل) است.

تعبیر فیزیکیویرایش

نام کرل، یا تاو به این دلیل انتخاب شده است که کرل یک میدان برداری در یک نقطه، معیاری است که آن میدان برداری چه مقدار چرخش حول آن نقطه دارد. برای درک مفهوم تاو فرض کنید که در کنار یک استخر ایستاده‌اید و پرّه‌ای کوچک (مثلاً یک چوب‌پنبه به‌همراه چند خلال دندان که در آن فرورفته‌اند) در استخر انداخته‌اید. اگر پره در نقطه‌ای قرار بگیرد که تاو در آن غیرصفر است، شروع به چرخیدن می‌کند. در این مثال سرعت آب میدان برداری مورد نظر است، و پره، تاو این میدان برداری را در هر نقطه اندازه می‌گیرد.[۱]

مثال هاویرایش

مثال یکویرایش

میدان برداری زیر را در نظر بگیرید:

 

اگر بردارهای میدان، نیرو های وارد بر جسم حاضر در یک نقطه را نشان دهند.در اثر نیرو آن جسم شروع به چرخش پاد ساعت‌گرد به دور خودش میکند فارغ از اینکه جسم در کجا قرار دارد:

 
کرل میدان مورد نظر میدان یکنواخت در جهت منفی z است.نتیجه ی به دست آمده را می توانستیم با استفاده از قانون دست راست پیشبینی کنیم.یکنواخت بودن کرل باعث می شود که جسم قرار داده شده در هرجای میدان با سرعت چرخشی مشخصی به دور خودش بگردد بدون توجه به این که کجای میدان قرار دارد.
نمودار کرل میدان مثال یک به صورت زیر است:

برخی خواصویرایش

 
 

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش

  • الکترومغناطیس میدان و موج (دیوید.ک.چنگ؛ ترجمه دکتر جبه دار مارالانی و دکتر قوامی)
  • جورج براون آرفکن، روشهای ریاضی در فیزیک، ترجمهٔ اعظم پورقاضی، مرکز نشر دانشگاهی، شابک &#۸۲۰۶;۹۶۴-۰۱-۰۹۱۴-۲ مقدار |شابک= را بررسی کنید: invalid character (کمک)