تقریب استرلینگ

تقریب استرلینگ یا فرمول استرلینگ، به فرمولی در ریاضیات اشاره دارد که برای تقریب‌زنی فاکتوریلهای بزرگ به کار می‌رود و به یاد جیمز استرلینگ (به انگلیسی: James Stirling) نامگذاری شده.[۱]

فرمولویرایش

محاسبهٔ مقدار واقعی   برای  های بزرگ خسته‌کننده است، به جای آن می‌توان مقدار   را از فرمول استرلینگ و لگاریتم طبیعی، محاسبه کرد:[۲]

 

خطای نسبی این تقریب که از فرمولِ

 

بدست می‌آید، در حالت بیشینه برابر است با:

 

اثباتویرایش

با استفاده از تابع گاما می‌توان فرمولی جایگزین برای   به شکل ذیل به‌دست‌آورد:[۳]

 

با تغییر متغیر   ، به معادله پایین دست می‌یابیم:

 

حال با استفاده از روش لاپلاس برای تخمین انتگرال خط پیشین به معادله پایین می‌رسیم:

 

با جایگزینی انتگرال خواهیم داشت:

 

عبارت بالا همان تقریب استرلینگ است، یعنی:

 

البته روش لاپلاس را برای محاسبه دقیق‌تر تقریب نیز می‌توان مورد استفاده قرار داد، به این معنی که:

 

و تقریب دقیق‌تری به شکل پایین به‌دست‌آورد:

 

مثالویرایش

مقدار واقعی ‎۱۵!‎ می‌شود ۱۳۰۷۶۷۴۳۶۸۰۰۰، مقدار تقریبی ‎۱۵!‎ با استفاده از فرمول استرلینگ به صورت زیر به دست می‌آید:

 

بنابراین:

 

(خطای نسبی در حدود ۰٫۰۰۶ است)

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش

  1. مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Stirling's approximation». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.
  2. بهبودیان، جواد (۱۳۸۸). «قوانین شانس یا احتمال». آمار و احتمال مقدماتی. قوانین شمارش: دانشگاه امام رضا (ع). ص. ۹۳. شابک ۹۶۴-۶۵۸۲-۰۲-۸. پارامتر |تاریخ بازیابی= نیاز به وارد کردن |پیوند= دارد (کمک)
  3. Phillipe Flajolet and Robert Sedgewick, Analytic Combinatorics, p. 555.