بیشینه و کمینه

اکسترمم های تابع
(تغییرمسیر از بیشینه)

در آنالیز ریاضی، بیشینه (ماکسیمم) و کمینهٔ (مینیمم) یک تابع (که به طور جمعی به آنها اکسترمم‌های آن تابع گویند) به بزرگترین مقدار و کوچکترین مقدار تابع (در صورت وجود)، یا در یک بازهٔ خاص (اکسترمم نسبی) و یا در کلّ دامنه (اکسترمم مطلق) گفته می‌شود.[۱]

بیشینه و کمینه نسبی و مطلق برای cos(3πx)/x, 0.1≤ x ≤1.1

فرما، یکی از اوّلین کسانی بود که روشی کلّی برای پیدا کردن اکسترمم‌ها پیشنهاد کردند.

تعریفویرایش

اکسترمم مطلقویرایش

نقطهٔ بیشینهٔ مطلق   (که با   نشان می‌دهند) در یک تابع حقیقی   با دامنهٔ  ، نقطه‌ای است که  .

به شکل مشابه، نقطهٔ کمینهٔ مطلق   (که با   نشان می‌دهند) در یک تابع حقیقی   با دامنهٔ  ، نقطه‌ای است که  .

در بیشتر اوقات، صفت «مطلق» برای اکسترمم مطلق ذکر نمی‌شود.

اکسترمم نسبیویرایش

نقطهٔ بیشینهٔ نسبی   در یک تابع حقیقی   با دامنهٔ  ، نقطه‌ای است که  .

تابع فاصله   در فضای متریک برای اعداد حقیقی به صورت   تعریف می‌شود.

به شکل مشابه، نقطهٔ کمینهٔ نسبی   در یک تابع حقیقی   با دامنهٔ  ، نقطه‌ای است که  .

اکسترمم اکیدویرایش

مفهوم اکید را می‌توان برای هر دو اکسترمم مطلق و نسبی تعریف کرد. به عنوان مثال:

نقطهٔ بیشینهٔ مطلق اکید   در یک تابع حقیقی   با دامنهٔ  ، نقطه‌ای است که  .

نقطهٔ بیشینهٔ نسبی اکید   در یک تابع حقیقی   با دامنهٔ  ، نقطه‌ای است که  .

یافتن اکسترمم‌های تابعویرایش

یافتن اکسترمم‌ها هدف بهینه‌سازی است.

قضیهٔ مقدار اکسترممویرایش

  • اگر تابع   در بازهٔ   پیوسته باشد، آن گاه   روی   دارای حدّاقل یک مقدار بیشینهٔ مطلق و یک مقدار کمینهٔ مطلق است.

همان طور که از صورت قضیهٔ اکسترمم ملاحظه می‌شود شرط کافی برای وجود اکسترمم مطلق، پیوسته بودن تابع در فاصلهٔ   است؛ ولی با این وجود، این شرط لازم نیست، چون تابعی می‌توان نشان داد که در فاصله‌ای پیوسته نباشد ولی دارای بیشینه و کمینهٔ مطلق باشد. به عبارت دیگر نمی‌توان گفت که چون تابعی در بازه‌ای ناپیوسته است، بیشینه و کمینهٔ مطلق ندارد. اما اگر تابعی در بازهٔ بسته‌ای پیوسته باشد، آن گاه حتماً دارای بیشینه و کمینهٔ مطلق هست.[۲]

نقاط بحرانیویرایش

یک اکسترمم مطلق در یک بازه (در صورت وجود) یا یکی از اکسترمم‌های نسبی و یا ابتدا و انتهای بازه است.

طبق قضیهٔ فرما، هر اکسترمم نسبی، یک نقطهٔ بحرانی است.

پس با بررسی نقاط بحرانی و ابتدا و انتهای بازه و پیدا کردن بیشترین و کمترینشان می‌توان اکسترمم‌ها را پیدا کرد.

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش

  1. Thomas' Calculus (14th Edition).
  2. حساب دیفرانسیل و انتگرال (جلد اول)، مسعود نیکوکار و بهمن عرب‌زاده، تهران، انتشارات آزاده، ۱۳۸۲، شابک ‎۹۶۴−۸۰۲۰−۴۷−۷
عملیات دوتایی
عددی تابعی مجموعه‌ای ساختاری
مقدماتی

+ جمع
تفریق
× ضرب
÷ تقسیم
^ توان

حسابی

div خارج قسمت اقلیدسی
mod باقی‌مانده اقلیدسی
بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک
کوچک‌ترین مضرب مشترک

ترکیباتی

() ضریب دوجمله‌ای
P جایگشت
C ترکیب

ترکیب
کانولوشن
جبر مجموعه‌ها

اجتماع
\ متمم نسبی
اشتراک
Δ تفاضل متقارن

ترتیب کلی

min کمینه
max بیشینه

توری‌ها

کرانه تحتانی
کرانه فوقانی

مجموعه‌ها

× ضرب دکارتی
اجتماع منفصل
^ توان مجموعه‌ای

گروه‌ها

حاصل‌جمع مستقیم
حاصل‌ضرب آزاد
produit en couronne

مدول‌ها

ضرب تانسوری
Hom هومومورفیزم
Tor پیچش
Ext extensions

درخت‌ها

enracinement

واریته‌های متصل

# جمع متصل

فضاهای نقطه‌دار

bouquet
smash produit
joint

بُرداری
(.) ضرب اسکالر
ضرب برداری
جبری
[,] کروشه لی
{,} کروشه پواسون
ضرب خارجی
هومولوژی
cup-produit
حاصل‌ضرب اشتراک
ترتیبی
+ الحاق
منطق بولی
عطف منطقی فصل منطقی یای انحصاری استلزام منطقی اگر و فقط اگر