بیشینه و کمینه

اکسترمم های تابع و مشتق آن
(تغییرمسیر از بیشینه)

بیشینه (ماکسیمم) و کمینه (مینیمم) تابع در یک بازه، به بزرگترین مقدار و کوچکترین مقدار تابع در آن بازه گفته می‌شود. در اصطلاح به ماکسیمم و همین‌طور مینیمم، نقاط اکسترمم تابع گفته می‌شود. ماکسیمم و مینیمم ، هر یک به دو دسته تقسیم می شوند.

Extrema example original fa.svg

مینیممویرایش

در ریاضیات به کوچکترین مقدار یک تابع در یک محدوده مینیمم گفته می‌شود. همچنین مینیمم ممکن است به کوچکترین عضو یک مجموعه از اعداد اطلاق شود.

مینیمم نسبی یا موضعیویرایش

به ازای تابع   و عدد  ، فرض می‌کنیم به ازای هر همسایگی از   داشته باشیم  . در این صورت   در   مینیمم نسبی دارد.

مینیمم مطلقویرایش

ماکسیممویرایش

در ریاضیات به بزرگ‌ترین مقدار یک تابع در یک محدوده ماکسیمم گفته می‌شود. همچنین ماکسیمم ممکن است به بزرگ‌ترین عضو یک مجموعه از اعداد اطلاق شود.

>c</math> ماکسیمم نسبی دارد.

ماکسیمم مطلقویرایش

قضیه اکسترممویرایش

اگر تابع f روی فاصله [a,b] پیوسته باشد، آنگاه f روی [a,b] دارای یک مقدار ماکسیمم مطلق و یک مقدار مینیمم مطلق است.

همان‌طور که از صورت (قضیه اکسترمم) ملاحظه می‌شود شرط کافی برای وجود ماکسیمم مطلق و مینیمم مطلق، پیوسته بودن تابع در فاصله [a,b] است؛ ولی با این وجود این شرط لازم نیست، چون تابعی می‌توان نشان داد که در فاصله‌ای پیوسته نباشد، ولی دارای ماکسیمم و مینیمم مطلق باشد. به عبارت دیگر نمی توان گفت که چون تابعی در بازه‌ای ناپیوسته است، ماکسیمم و مینیمم مطلق ندارد. اما اگر تابعی در فاصله بسته‌ای پیوسته باشد، آنگاه حتماً دارای ماکسیمم و مینیمم مطلق است.[۱]

تفاوت اکسترمم مطلق و اکسترمم نسبیویرایش

مقدار تابع در اکسترمم نسبی تنها در یک همسایگی بررسی می‌شود. ولی برای پیدا کردن اکسترمم مطلق مقدار تابع در یک نقطه را با مقدار تابع در کل دامنه بررسی می‌کنیم.

تشخیص نقاط بحرانیویرایش

هرگاه مشتق تابع در یک نقطه وجود نداشته ‌باشد، و یا وجود داشته ‌باشد ولی صفر باشد، به آن نقطه از دامنهٔ تابع، نقطه بحرانی می‌گوییم.

نقاط ماکزیمم و بحرانی در نمودارویرایش

در نمودار نقاط که بالاترین عرض مثبت دارند نقاط ماکزیمم هستند. نقاطی که بالاترین ارتفاع را دارند نقاط ماکزیمم مطلق هستند، بقیه ماکزیمم نسبی هستند.

در نمودار نقاط که پایین‌ترین عرض منفی دارند نقاط مینیمم هستند. نقاطی که پایین‌ترین ارتفاع را دارند نقاط مینیمم مطلق هستند، بقیه مینیمم نسبی هستند.

 
نقاط ماکزیمم و بحرانی در نمودار

پانوشتویرایش

اکسترمم مطلق «سیده فاطمه موسوی نطنزی»

منابعویرایش

  • سیلورمن (۱۳۸۲حساب دیفرانسیل و انتگرال، ص. ۲۶۵، شابک ۹۶۴-۳۱۱-۰۰۵-۲
  1. حساب دیفرانسیل و انتگرال (جلد اول)، مسعود نیکوکار و بهمن عرب‌زاده، تهران، انتشارات آزاده، ۱۳۸۲، شابک ‎۹۶۴-۸۰۲۰-۴۷-۷

جستارهای وابستهویرایش

عملیات دوتایی
عددی تابعی مجموعه‌ای ساختاری
مقدماتی

+ جمع
تفریق
× ضرب
÷ تقسیم
^ توان

حسابی

div خارج قسمت اقلیدسی
mod باقیمانده اقلیدسی
بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک
کوچک‌ترین مضرب مشترک

ترکیباتی

() ضریب دوجمله‌ای
P جایگشت
C ترکیب

ترکیب
کانولوشن
جبر مجموعه‌ها

اجتماع
\ مجموعه مکمل
اشتراک
Δ تفاضل متقارن

ترتیب کلی

min کمینه
max بیشینه

توری‌ها

کرانه تحتانی
کرانه فوقانی

مجموعه‌ها

× ضرب دکارتی
اجتماع منفصل
^ توان مجموعه‌ای

گروه‌ها

حاصل‌جمع مستقیم
حاصل‌ضرب آزاد
produit en couronne

مدول‌ها

ضرب تانسوری
Hom هومومورفیزم
Tor پیچش
Ext extensions

درخت‌ها

enracinement

واریته‌های متصل

# جمع متصل

فضاهای نقطه‌دار

bouquet
smash produit
joint

بُرداری
(.) ضرب اسکالر
ضرب برداری
جبری
[,] کروشه لی
{,} کروشه پواسون
ضرب خارجی
هومولوژی
cup-produit
حاصل‌ضرب اشتراک
ترتیبی
+ الحاق
منطق بولی
عطف منطقی فصل منطقی یای انحصاری استلزام منطقی اگر و فقط اگر