عملگر لاپلاس

در ریاضیات و فیزیک، عملگر لاپلاس (به انگلیسی: Laplace operator) یا لاپلاسین (به انگلیسی: Laplacian) که با ∇·∇، ^۲∇ یا Δ نمایش داده می‌شود، یکی از مهم‌ترین عملگرهای بیضوی به شمار می‌رود. این عملگر در بسیاری از معادله‌های فیزیکی ظاهر می‌شود که از آن جمله می‌توان به معادلهٔ موج، معادلهٔ شرودینگر و معادلهٔ حرارت اشاره کرد.

تعریف

عملگر لاپلاس عملگر دیفرانسیلی مرتبه دوم است که بر فضای n-بعدی اقلیدسی عمل می‌کند و برابر است با دیورژانس گرادیان یک تابع؛ بنابراین اگر f تابعی حقیقی و دو بار مشتق‌پذیر باشد، آنگاه:

$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$   (۱)

عملگر لاپلاس در دستگاه مختصات دکارتی به شکل زیر تعریف می‌شود:

$\Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}$   (۲)

جستارهای وابسته

• معادله_هلمهولتز
• عملگر دیفرانسیلی (دِل)
• گرادیان
• دیورژانس
• کرل

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Laplace_operator&oldid =226460820 Laplace operator». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۱ ژوئیه ۲۰۰۸.