نابرابری ینسن بر روی نمودار

نابرابری ینسن نابرابری اساسی در مبحث توابع محدب و مقعر است. این به دلیل عمومیت این نابرابری، خود مبنای بسیاری از نابرابری‌های مهم است، به خصوص در تجزیه و تحلیل و تئوری اطلاعات. این نابرابری بنام ریاضیدان دانمارکی یوهان لودویگ ینسن (به دانمارکی: Johan Ludvig William Valdemar Jensen)، نامگذاری شده و در ۱۷ در ژانویه ۱۹۰۵ در یک کنفرانس مربوط به ریاضیات در دانمارک معرفی شده‌اند.[۱] طبق فرضیه‌های دیگری این نابرابری قبل از آن توسط اتو هولدر، (به آلمانی: Otto Hölder) ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۸۹ استفاده شده.[۲]

جملاتویرایش

بیانویرایش

برای یک تابع محدب   و برای   غیر منفی:  ، بنابراین:[۳][۴]

 

اثبات استنتاجیویرایش

برای هر   حقیقی بین ۰ و ۱:[۵]

 

k_i x_i}{\sum_{i=1}^n k_i}\right)\leq\frac{\sum_{i=1}^n k_i f\left(x_i\right)}{\sum_{i=1}^n k_i}</math>

 [۱]

کاربردهاویرایش

از نابرابری ینسن در اثبات نابرابری‌های دیگر استفاده می‌شود. بطور مثال در اثبات نابرابری میانگین حسابی-هندسی و نابرابری کی فان (به انگلیسی: Ky Fan inequality) از این نابرابری استفاده می‌شود.[۶]

پیوند به بیرونویرایش

نابرابری ینسن، مؤسسه‌ای بین‌المللی ولفرم ریسرچ

منابعویرایش

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ Johan Ludwig William Valdemar Jensen: Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In Acta Math. 30, Seite 175–193, 1906.
  2. Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. Aus dem Jahre 1889. , Nr. 1-21, Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, S. 38ff. (in Wikisource, abgerufen am 24. März 2012).
  3. Krantz, S. G. "Jensen's Inequality." §9.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 118, 1999.
  4. «jensen's inequality». Wolfram Alpha LLC—A Wolfram Research Company. دریافت‌شده در ۱۵ اوت ۲۰۱۳.
  5. "23.7 ,Konvexe Funktionen und Ungleichungen" (PDF) (به آلمانی). Universität Duisburg-Essen. Retrieved 15 August 2013.
  6. مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[[[:de:Jensensche Ungleichung#cite note-Hoelder1889-2]] Jensensche Ungleichung]». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای آلمانی، بازبینی‌شده در ۱۵ اوت ۲۰۱۳.