تابع محدب

در ریاضیات، تابع کوژ (به انگلیسی: Convex Function) (یا تابع محدب)، تابع حقیقی-مقداری است که روی بازه n-بعدی تعریف شده و پاره خط بین هر دو نقطه از نمودار آن بالای نمودار بین آن دو نقطه قرار گیرد. به طور معادل، یک تابع کوژ است اگر اپی‌گراف (مجموعه نقاط رو یا بالای نمودار تابع) آن مجموعه‌ای کوژ باشد. تابع تک متغیره، دوبار دیفرانسیل‌پذیر است اگر و تنها اگر مشتق دوم آن روی تمام دامنه نا-منفی باشد. مثال‌های شناخته شده از توابع کوژ تک-متغیره شامل تابع مربعی $x^{2}$ و تابع نمایی $e^{x}$ می باشد. به بیان ساده، تابع کوژ، تابعی است که به شکل $\cup$ (cup) و تابع مقعر به شکل $\cap$ (cap) است.

تابع محدب روی یک بازه.

تابعی (به رنگ سیاه) محدب است اگر و تنها اگر ناحیه بالای نمودار آن (به رنگ سبز) مجموعه محدبی باشد.

نموداری از تابع محدب چندجمله‌ای $x^{2}+xy+y^{2}$.

توابع کوژ نقش مهمی را در بسیاری از مباحث ریاضی بازی می کنند. به‌خصوص در مطالعه مسائل بهینه‌سازی که توسط خواص مناسبی از بقیه توابع متمایز می شوند. به عنوان مثال، تابع اکیداً کوژ روی یک مجموعه باز، بیش از یک مینیمم ندارد. حتی در فضاهای بی نهایت بعدی، تحت فرض‌های مناسب اضافی، توابع کوژ هنوز هم خواص خود را حفظ کرده و نتیجتاً جزو شناخته شده ترین تابعی‌ها در حساب تغییرات اند. در نظریه احتمالات، وقتی توابع کوژ را بر روی امید ریاضی یک متغیر تصادفی اعمال می کنند، همیشه از بالا توسط امید ریاضی تابع کوژ آن متغیر تصادفی محدود می شود، یعنی کران بالای آن این مقدار است یا به بیان دقیق تر: $\operatorname {E} (f(X))\geq f(\operatorname {E} (X))$. به خاصیت اخیر که در قالب یک نامساوی بیان شد، نامساوی جنسن (یا ینسن) گفته شده که می توان آن را جهت استنتاج نابرابری‌هایی چون نابرابری میانگین حسابی-هندسی و نابرابری هولدر نیز به کار برد.

تعریف

فرض کنیم $-\infty \leq a<b\leq +\infty$، تابع $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ را کوژ گوییم در صورتی که به ازای هر دو عدد $x_{1},x_{2}\in (a,b)$ و هر $t$ که $0\leq t\leq 1$، داشته باشیم:

$\forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in [0,1]:\qquad f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).$

اگر در تعریف بالا تساوی را برداریم آنگاه $f$ را اکیداً کوژ می‌نامیم.

$\forall x_{1}\neq x_{2}\in X,\forall t\in (0,1):\qquad f(tx_{1}+(1-t)x_{2})<tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).$

خاصیت‌ها

$R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}$

$\forall x_{1},x_{2}\in C:\qquad f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}.$

$f(x)\geq f(y)+f'(y)(x-y)$

$f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\leq tf(x)+(1-t)f(0)\leq tf(x),\quad \forall t\in [0,1].$

$f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\leq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)$

جستارهای وابسته

• مجموعه کوژ
• بهینه‌سازی محدب
• تابع کاو

منابع

• Bertsekas, Dimitri (2003). Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific.
• Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.
• Donoghue, William F. (1969). Distributions and Fourier Transforms. Academic Press.
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
• Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. (1961). Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd.
• Lauritzen, Niels (2013). Undergraduate Convexity. World Scientific Publishing.
• Luenberger, David (1984). Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley.
• Luenberger, David (1969). Optimization by Vector Space Methods. Wiley & Sons.
• Rockafellar, R. T. (1970). Convex analysis. Princeton: Princeton University Press.
• Thomson, Brian (1994). Symmetric Properties of Real Functions. CRC Press.
• Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing  Co., Inc. pp. xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.