در ترکیبیات، مِیتروید (به انگلیسی: Matroid) ‎/ˈmtrɔɪd/‎ (ممکن است در ترجمه ها به آن متروید، ماتروید و... هم گفته شود) ساختاری است که مفهوم استقلال خطی در فضاهای برداری را تجرید سازی کرده و تعمیم می دهد. از نظر اصول موضوعه منطقی، روش های بسیاری برای تعریف یک میتروید وجود دارد که مهم ترین آن ها ازین قرارند: براساس مجموعه ها؛ پایه ها و مدارها؛ توابع رتبه؛ عملگرهای بستار؛ مجموعه های بسته یا فلت‌ها. به زبان مجموعه های مرتب جزئی، یک میتروید متناهی معادل با مشبکه هندسی است.

نظریه میتروید به طور گسترده از واژگان جبر خطی و نظریه گراف وام گرفته، چرا که تجرید عمده مفاهیم مرکزی در این شاخه ها ما را به میتروید ها می رساند. میترویدها کاربردهایی در هندسه، توپولوژی، بهینه سازی ترکیبیاتی، نظریه شبکه و نظریه کد پیدا کرده اند.[۱][۲]

تعاریف

ویرایش

طرق متنوعی برای تعریف میتروید (متناهی) وجود دارد که با هم رمزریخت (کریپتومورف) هستند:[۳]

مجموعه‌های مستقل

ویرایش

برحسب استقلال، یک میتروید متناهی   شامل زوج مرتب   است که   مجموعه ای متناهی (که به آن مجموعه زمینه گفته می شود) و   خانواده ای از زیرمجموعه های   (که به آن مجموعه های مستقل گفته می شود) است که دارای خواص زیر باشد:[۴]

  1. مجموعه تهی مستقل است، یعنی  . یا به عباری، حداقل یکی از زیرمجموعه های   مستقل است، یعنی  .
  2. هر زیرمجموعه از یک مجموعه مستقل، مستقل است، یعنی برای هر  ، اگر   آنگاه  . این خاصیت را برخی مواقع خاصیت موروثی، یا خاصیت بسته از پایین نیز می گویند.
  3. اگر   و   دو مجموعه مستقل باشند (یعنی، هر مجموعه مستقل باشند) و   از   عناصر بیشتری داشته باشد، آنگاه وجود دارد   چنان که   در   است. برخی اوقات به این خاصیت خاصیت افزودگی یا خاصیت تبادل مجموعه مستقل نیز می گویند.

دو خاصیت اول ساختاری ترکیبیاتی به نام دستگاه استقلال (یا مجتمع سادکی مجرد) تعریف می کنند.

نمونه‌ها

ویرایش
 
مرتبط

در نظریهٔ گراف می‌توانید یک گراف را بردارید و مجموعهٔ پس‌زمینه را مجموعهٔ گره‌های آن برداشته و یک مجموعه از این گره‌ها را وابسته در نظر بگیرید هر گاه یک دور در زیرگراف القا شده از این گره‌ها وجود داشته باشد. به این میتروید، میتروید گرافی می‌گویند. در جبرخطی می‌توانید یک فضای برداری اتنخاب کرده و یک مجموعه بردار دلخواه از این فضا را به عنوان مجموعهٔ پس‌زمینه بردارید. یک مجموعه از این بردارها را وابسته گوئیم هر گاه وابستهٔ خطی باشند یعنی یک ترکیب خطی نابدیهی از آن‌ها صفر شود. به این میتروید، میتروید ماتریسی می‌گوئیم. علت این نامگذاری این است که می‌توان نمایش برداری این بردارها را در نظر گرفته و با کنار هم قرار دادن آن‌ها یک ماتریس داشت که آنگاه مجموعهٔ پس‌زمینهٔ ما گردایهٔ ستون‌های این ماتریس است. در جبرجابجایی می‌توان رابطهٔ وابستگی میتروید را وابستگی جبری در نظر گرفت.

کاربرد

ویرایش

به‌طور کلی داشتن ساختار میترویدی در یک بحث ریاضی باعث می‌شود که ابزارها و قضایای زیادی را از جبرخطی و نظریهٔ گراف که مرتبط با ساختار میترویدی‌شان است را به مبحث موردنظر انتقال داد. مسئلهٔ مهم دیگر مطالعهٔ چرخه‌ها و پایه‌ها است. در بسیاری از موارد ریاضیدانان به دنبال یافتن بزرگترین‌ها و کوچکترین‌های صادق در یک سری شرایط هستند که به شناخت برخی اشیاء ریاضی و کار کردن با آن‌ها کمک می‌کند.

پانویس

ویرایش
  1. Neel, David L.; Neudauer, Nancy Ann (2009). "Matroids you have known" (PDF). Mathematics Magazine. 82 (1): 26–41. doi:10.4169/193009809x469020. Archived from the original (PDF) on 13 February 2022. Retrieved 4 October 2014.
  2. Kashyap, Navin; Soljanin, Emina; Vontobel, Pascal. "Applications of Matroid Theory and Combinatorial Optimization to Information and Coding Theory" (PDF). www.birs.ca. Retrieved 4 October 2014.
  3. منبع استانداردی برای تعاریف و نتایج پایه در مورد میتروید، Oxley (1992) است. یک منبع قدیمی تر Welsh (1976) است. ضمیمه Brylawski را در White (1986)، صفحات 298-302 را برای لیستی از دستگاه های اصول موضوعه ای معادل ببینید.
  4. (Welsh 1976), Section 1.2, "Axiom Systems for a Matroid", pp. 7–9.


منابع

ویرایش

پیوندهای بیرونی

ویرایش