در حساب دیفرانسیل تنها یک نوع نمادگذاری واحد برای مشتق وجود ندارد و نمادگذاری‌های مختلفی توسط ریاضی‌دان‌ها استفاده شده‌است. در هر زمینه‌ای خاص٬ برخی نمادها مفیدترند.
نمادگذاری لایب‌نیتز
ویرایش
معمول‌ترین نمادگذاری استفاده‌شده مربوط به لایب‌نیتز است.در این نمادگذاری مشتق
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
و مشتق‌های مرتبه‌های بالاتر چنین نمایش داده می‌شوند:
d
n
y
d
x
n
,
d
n
(
f
(
x
)
)
d
x
n
,
or
d
n
d
x
n
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},{\text{ or }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}}
نمادگذاری لاگرانژ
ویرایش
نمادگذاری اویلر
ویرایش
در نمادگذاری لئونارد اویلر مشتق به شکل یک عملگر دیفرانسیلی به شکل
D
{\displaystyle D}
مشتق اول:
D
f
{\displaystyle Df\;}
مشتق دوم:
D
2
f
{\displaystyle D^{2}f\;}
مشتق nام:
D
n
f
{\displaystyle D^{n}f\;}
معمولاً متغیری که نسبت به آن مشتق گرفته‌می‌شود را هم این‌طور نشان می‌دهند:
D
x
n
y
{\displaystyle D_{x}^{n}y\;}
نمادگذاری نیوتون
ویرایش
ẋ ẍ
در نمادگذاری نیوتن ٬ مشتق با قرار دادن نقطه بالای تابع مورد نظر نمایش می‌یابد.این نوع نمایش مشتق٬ بیشتر برای مشتق زمانی و حداکثر تا مرتبه‌ی دوم کاربرد دارد:
y
˙
=
d
y
d
t
{\displaystyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}}}
y
¨
=
d
2
y
d
t
2
{\displaystyle {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}}
نمادگذاری در حساب برداری
ویرایش
در حساب برداری ٬ابتدا یک عملگر دیفرانسیلی با نام عملگر دل تعریف می‌کنیم:
∇
=
(
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
{\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}
حال گرادیان
g
r
a
d
φ
=
(
∂
φ
∂
x
,
∂
φ
∂
y
,
∂
φ
∂
z
)
{\displaystyle \mathrm {grad\,} \,\varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)}
=
(
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
φ
{\displaystyle =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi }
=
∇
φ
{\displaystyle =\nabla \varphi }
دیورژانس میدان برداری عمل می‌کند و به این شکل‌ها نمایش داده‌می‌شود:
d
i
v
A
=
∂
A
x
∂
x
+
∂
A
y
∂
y
+
∂
A
z
∂
z
{\displaystyle \mathrm {div\,} \mathbf {A} ={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}}
=
(
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
⋅
A
{\displaystyle =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} }
=
∇
⋅
A
{\displaystyle =\nabla \cdot \mathbf {A} }
عملگر لاپلاسین :
Δ
=
∇
2
{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}
d
i
v
g
r
a
d
φ
=
∇
⋅
(
∇
φ
)
{\displaystyle \mathrm {div} \,\mathrm {grad} \,\varphi \,=\nabla \cdot (\nabla \varphi )}
=
(
∇
⋅
∇
)
φ
=
∇
2
φ
=
Δ
φ
{\displaystyle =(\nabla \cdot \nabla )\varphi =\nabla ^{2}\varphi =\Delta \varphi }
و عملگر کرل یا تاو٬
c
u
r
l
A
{\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} \,}
r
o
t
A
{\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} \,}
میدان برداری A عمل می‌کند به این صورت‌ها قابل نمایش است:
c
u
r
l
A
=
(
∂
A
z
∂
y
−
∂
A
y
∂
z
,
∂
A
x
∂
z
−
∂
A
z
∂
x
,
∂
A
y
∂
x
−
∂
A
x
∂
y
)
{\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} =\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)}
دیگر نمادگذاری‌ها
ویرایش
برخی روش‌های دیگر برای نمایش مشتق ٬ در حساب چندمتغیره یا آنالیز تانسوری استفاده می‌شود.برای مثال:
f
x
=
d
f
d
x
{\displaystyle f_{x}={\frac {df}{dx}}}
f
x
x
=
d
2
f
d
x
2
.
{\displaystyle f_{xx}={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.}
و
∂
f
∂
x
=
f
x
=
∂
x
f
=
∂
x
f
,
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f=\partial ^{x}f,}
البته دو نماد آخر تنها در فضای اقلیدسی یکسانند و روی خمینه ها یکی نیستند.
پیوند به بیرون
ویرایش
Mathematical Analysis I & II,V.A Zorich
