پیش‌نویس:گروه متقارن آفین

کاشی کاری مثلثی منظم صفحه، که تقارن‌های آن توسط گروه متقارن آفین S̃₃ توصیف شده‌است.

گروه‌ متقارن آفین شاخه‌ای از جبر در ریاضیات است که به مطالعه و توصیف تقارن‌های محور اعداد و کاشی کاری مثلثی منظم صفحه و اجسام با ابعاد بالاتر مرتبط می‌پردازد. علاوه بر این توصیف هندسی، گروه‌های متقارن وابسته به روش دیگری نیز تعریف می‌شوند. مثلا:به عنوان مجموعه‌ای از جایگشت‌های (باز چینی) اعداد صحیح که در زمان خاصی به‌صورت متناوب هستند یا به اصطلاح تخصصی تر، به عنوان گروه با مولد و روابط (تعیین گروه با مولد و روابط بین آنها) است که در ترکیبیات و نظریهٔ نمایش بررسی می‌شوند. یک گروه متقارن محدود، شامل همه جایگشت‌های یک مجموعه متناهی است. هر گروه متقارن وابسته، توسیع گروهی از یک گروه متقارن محدود است. بسیاری از ویژگی‌های ترکیبی مهم گروه‌های متقارن محدود می‌تواند به گروه‌های متقارن وابسته متناظر تعمیم داده شود. آمار جایشگت (تصادفی) مانند جایگشت و وراونگی را می‌توان در وابسته تعریف کرد. همان‌طور که در حالت محدود، تعاریف ترکیبی طبیعی برای این آمار نیز تفسیر هندسی دارند. گروه‌های متقارن وابسته روابط نزدیکی با سایر موضوعات ریاضی دارند، از جمله الگو(ترفند)های شعبده‌بازی و گروه‌های بازتابی پیچیده خاص است. بسیاری از ویژگی‌های ترکیبی و هندسی آنها به خانواده گسترده‌تر گروه‌های کاکسیتر تعمیم داده می‌شود.

تعریف ها

گروه متقارن آفین را می‌توان توسط مولدها و روابط به عنوان گروهی مجرد، یا به طور معادل برحسب عبارات ملموس هندسی و مدل‌های ترکیبیاتی تعریف نمود.

تعریف جبری

نمودارهای دینکین برای گروه های متقارن آفین برای گروه های ۲،یا بیش از ۲ مولد

یکی از راه های تعریف گروه‌ها،استفاده از مولدها و روابط است. در این نوع تعریف، مولدها زیرمجموعه ای از عناصر گروه هستند که در صورت ترکیب، همه عناصر دیگر را تولید می کنند.روابط تعریف،سیستمی از معادلات هستند که مشخص می‌کنند چه زمانی ترکیب مولدها برابر هستند.به این ترتیب گروه متقارن وابسته${\widetilde {S}}_{n}$_ام،توسط یک مجموعه درست می‌شود.

$s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n-1}$

از n_مین عنصر از رابطه زیر پیروی می‌کند: اگر $n\geq 3$ باشد

1. $s_{i}^{2}=1$ (که مولدها پیچشی هستند.)
2. $s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}$ اگر j متعلق به $j+1$ و $j-1$ نباشد،نشان می‌دهد برای این جفت ژنراتور خاصیت جابه‌جایی وجود دارد.
3. $s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1}$

نکته مهم این است که در روابط فوق،اندازه‌ها هم‌نهشتn در نظر گرفته می‌شوند،در نتیجه رابطه شماره ۳ فقط در موارد خاص درست است $s_{0}s_{n-1}s_{0}=s_{n-1}s_{0}s_{n-1}$ (به روابط دوم و سوم روابط براید هم گفته می‌شود.) اگر $n=2$ باشد،گروه متقارن آفین${\widetilde {S}}_{2}$، یک گروه دووجهی بی نهایت است که توسط دو عنصر $s_{0},s_{1}$ تولید می‌شود و صرفا محدود به روابط$s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=1$ است.

این روابط را می‌توانند به شکل ویژه‌ای بازنویسی کرد که گروه‌های کاکسیتر تعریف می‌کند،بنابراین گروه‌های متقارن آفین همان گروه کاکسیتر هستند که در آن $s_{i}$ها،مجموعه مولد کاکسیتر آنهاست.هر گروه کاکسیتر ممکن است با گراف کاکسیتر-دینکین نشان داده شود که رئوس آن متناظر با مولدها باشد و یال‌ها روابط میان آنها را رمزگذاری می‌کند.اگر $n\geq 3$ باشد،آنگاه نمودار کاکسیتر-دینکین برای ${\widetilde {S}}_{n}$ تبدیل به یک گراف $C_{n}$ می‌شود.(که در آن یال‌ها متناظر با روابط بین جفت مولدهای متوالی هستند و عدم وجود یک یال‌ بین جفت‌های مولدها،نشان می‌دهد که آنها قابل جابه‌جایی هستند.)

پانویس

منابع

• Allcock, Daniel (2002), "Braid pictures for Artin groups", Trans. Amer. Math. Soc., 354 (9): 3455–3474, doi:10.1090/S0002-9947-02-02944-6, S2CID 14473723
• Beazley, Elizabeth; Nichols, Margaret; Park, Min Hae; Shi, XiaoLin; Youcis, Alexander (2015), "Bijective projections on parabolic quotients of affine Weyl groups", J. Algebr. Comb., 41 (4): 911–948, doi:10.1007/s10801-014-0559-9
• Berg, Chris; Jones, Brant; Vazirani, Monica (2009), "A bijection on core partitions and a parabolic quotient of the affine symmetric group", J. Combin. Theory Ser. A, 116 (8): 1344–1360, arXiv:0804.1380, doi:10.1016/j.jcta.2009.03.013, S2CID 3032099
• Billey, Sara C.; Jockusch, William; Stanley, Richard P. (1993), "Some Combinatorial Properties of Schubert Polynomials", J. Algebr. Comb., 2 (4): 345–374, doi:10.1023/A:1022419800503, S2CID 8628113
• Björner, Anders; Brenti, Francesco (1996), "Affine permutations of type A", Electron. J. Combin., 3 (2): R18, doi:10.37236/1276, S2CID 2987208
• Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), Combinatorics of Coxeter groups, Springer, doi:10.1007/3-540-27596-7, ISBN 978-3540-442387, S2CID 115235335
• Cameron, Peter J. (1994), Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511803888, ISBN 978-0-521-45761-3, S2CID 115451799
• Charney, Ruth; Peifer, David (2003), "The $K(\pi ,1)$-conjecture for the affine briad groups", Comment. Math. Helv., 78 (3): 584–600, doi:10.1007/S00014-003-0764-Y, S2CID 54016405
• Chmutov, Michael; Lewis, Joel Brewster; Pylyavskyy, Pavlo (2022), "An affine generalization of evacuation", Selecta Math., New Series, 28 (4): Paper 67, arXiv:1706.00471, doi:10.1007/s00029-022-00779-x, S2CID 119168718
• Chmutov, Michael; Frieden, Gabriel; Kim, Dongkwan; Lewis, Joel Brewster; Yudovina, Elena (2022), "Monodromy in Kazhdan-Lusztig cells in affine type A", Math. Annalen, 386 (3–4): 1891–1949, arXiv:1806.07429, doi:10.1007/s00208-022-02434-4, S2CID 119669284
• Chmutov, Michael; Pylyavskyy, Pavlo; Yudovina, Elena (2018), "Matrix-ball construction of affine Robinson-Schensted correspondence", Selecta Math., New Series, 24 (2): 667–750, arXiv:1511.05861, doi:10.1007/s00029-018-0402-6, S2CID 119086049
• Clark, Eric; Ehrenborg, Richard (2011), "Excedances of affine permutations", Advances in Applied Mathematics, 46 (1–4): 175–191, doi:10.1016/j.aam.2009.12.006, S2CID 15349463
• Coxeter, H.S.M. (1973), Regular Polytopes (3 ed.), Dover, ISBN 0-486-61480-8
• Crites, Andrew (2010), "Enumerating pattern avoidance for affine permutations", Electron. J. Combin., 17 (1): R127, arXiv:1002.1933, doi:10.37236/399, S2CID 15383510
• Ehrenborg, Richard; Readdy, Margaret (1996), "Juggling and applications to q-analogues", Discrete Math., 157 (1–3): 107–125, CiteSeerX 10.1.1.8.6684, doi:10.1016/S0012-365X(96)83010-X, S2CID 18149014
• Eriksson, Henrik; Eriksson, Kimmo (1998), "Affine Weyl groups as infinite permutations", Electron. J. Combin., 5: R18, doi:10.37236/1356, S2CID 218962
• Gallian, Joseph A. (2013), Contemporary Abstract Algebra (8th ed.), Brooks/Cole, ISBN 978-1-133-59970-8, LCCN 2012938179
• Green, R.M. (2002), "On 321-Avoiding Permutations in Affine Weyl Groups", J. Algebr. Comb., 15 (3): 241–252, doi:10.1023/A:1015012524524, S2CID 10583938
• Hanusa, Christopher R.H.; Jones, Brant C. (2010), "The enumeration of fully commutative affine permutations", Eur. J. Comb., 31 (5): 1342–1359, arXiv:0907.0709, doi:10.1016/j.ejc.2009.11.010, S2CID 789357
• Hanusa, Christopher R.H.; Jones, Brant C. (2012), "Abacus models for parabolic quotients of affine Weyl groups", J. Algebra, 361: 134–162, arXiv:1105.5333v2, doi:10.1016/j.jalgebra.2012.03.029, S2CID 47583179
• Humphreys, James E. (1990), Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511623646, ISBN 0-521-37510-X, S2CID 121077209
• Kac, Victor G. (1990), Infinite-dimensional Lie algebras (PDF) (3rd ed.), Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511626234, ISBN 0-521-46693-8
• Kane, Richard (2001), Reflection groups and invariant theory, CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-3542-0, ISBN 0-387-98979-X, S2CID 119694827
• Kent, IV, Richard P.; Peifer, David (2002), "A geometric and algebraic description of annular braid groups", International Conference on Geometric and Combinatorial Methods in Group Theory and Semigroup Theory (Lincoln, NE, 2000), Internat. J. Algebra Comput., 12 (1–2): 85–97, doi:10.1142/S0218196702000997, S2CID 13593688
• Knutson, Allen; Lam, Thomas; Speyer, David E. (2013), "Positroid varieties: juggling and geometry", Compositio Mathematica, 149 (10): 1710–1752, doi:10.1112/S0010437X13007240, S2CID 16108179
• Lam, Thomas (2015), "The shape of a random affine Weyl group element and random core partitions", Ann. Probab., 43 (4): 1643–1662, arXiv:1102.4405v3, doi:10.1214/14-AOP915, S2CID 119691692
• Lapointe, Luc; Morse, Jennifer (2005), "Tableaux on $k+1$-cores, reduced words for affine permutations, and $k$-Schur expansions", J. Combin. Theory Ser. A, 112 (1): 44–81, doi:10.1016/j.jcta.2005.01.003, S2CID 161241
• Lehrer, Gustav I.; Taylor, Donald E. (2009), Unitary reflection groups, Australian Mathematical Society Lecture Series, vol. 20, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-74989-3, MR 2542964
• Lewis, Joel Brewster (2020), "A note on the Hurwitz action on reflection factorizations of Coxeter elements in complex reflection groups", Electron. J. Combin., 27 (2): P2.54, arXiv:2001.08238, doi:10.37236/9351, S2CID 219176795
• Lewis, Joel Brewster; McCammond, Jon; Petersen, T. Kyle; Schwer, Petra (2019), "Computing reflection length in an affine Coxeter group", Trans. Amer. Math. Soc., 371 (6): 4097–4127, arXiv:1710.06920, doi:10.1090/tran/7472, S2CID 119617021
• Lewis, Joel Brewster; Reiner, Victor (2016), "Circuits and Hurwitz action in finite root systems", The New York Journal of Mathematics, 22: 1457–1486, arXiv:1603.05969, MR 3603073, S2CID 1789116
• Lusztig, George (1983), "Some examples of square integrable representations of semisimple p-adic groups", Trans. Amer. Math. Soc., 277: 623–653, doi:10.1090/S0002-9947-1983-0694380-4, S2CID 54190838
• McCammond, Jon (2017), "The mysterious geometry of Artin groups", Winter Braids Lect. Notes, 4 (Winter Braids VII (Caen, 2017)): Exp. No. 1, 30, doi:10.5802/wbln.17, S2CID 128279613
• McCammond, Jon; Sulway, Robert (2017), "Artin groups of Euclidean type", Invent. Math., 210 (1): 231–282, Bibcode:2017InMat.210..231M, doi:10.1007/s00222-017-0728-2, S2CID 253738806
• Paolini, Giovanni; Salvetti, Mario (2021), "Proof of the $K(\pi ,1)$ conjecture for affine Artin groups", Invent. Math., 224 (2): 487–572, arXiv:1907.11795, doi:10.1007/s00222-020-01016-y, S2CID 253738279
• Petersen, T. Kyle (2015), Eulerian Numbers, Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher, Birkhauser, doi:10.1007/978-1-4939-3091-3, ISBN 978-1-4939-3090-6
• Polster, Burkard (2003), The Mathematics of Juggling, Springer, doi:10.1007/b98883, ISBN 0-387-95513-5, S2CID 221274895
• Reiner, Victor (1995), "The distribution of descents and length in a Coxeter group", Electron. J. Combin., 2: R25, doi:10.37236/1219, S2CID 6602595
• Shephard, G. C.; Todd, J. A. (1954), "Finite unitary reflection groups", Canad. J. Math., 6: 274–304, doi:10.4153/CJM-1954-028-3, S2CID 3342221
• Shi, Jian-Yi (1986), The Kazhdan-Lusztig Cells in Certain Affine Weyl Groups, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1179, Springer, doi:10.1007/bfb0074968, ISBN 3-540-16439-1, S2CID 117899042
• Shi, Jian Yi (1987), "Alcoves corresponding to an affine Weyl group", J. London Math. Soc., 2, 35 (1): 42–55, doi:10.1112/jlms/s2-35.1.42, S2CID 119897519
• Shi, Jian-Yi (1991), "The generalized Robinson–Schensted algorithm on the affine Weyl group of type A_n−1", J. Algebra, 139 (2): 364–394, CiteSeerX 10.1.1.551.3094, doi:10.1016/0021-8693(91)90300-W, S2CID 124324517
• Shi, Jian-Yi (2002), "Certain imprimitive reflection groups and their generic versions", Trans. Amer. Math. Soc., 354 (5): 2115–2129, doi:10.1090/S0002-9947-02-02941-0, S2CID 53996908
• Stembridge, John (1996), "On the Fully Commutative Elements of Coxeter Groups", J. Algebr. Comb., 5 (4): 353–385, doi:10.1007/BF00193185, S2CID 195239538
• Viennot, G. (1977), "Une forme géométrique de la correspondance de Robinson-Schensted", in Foata, Dominique (ed.), Combinatoire et Représentation du Groupe Symétrique, Lecture Notes in Mathematics (به فرانسوی), vol. 579, Springer, pp. 29–58, doi:10.1007/BFb0090011, ISBN 978-3-540-08143-2, S2CID 118727388