توزیع هندسی [۱] انگلیسی : Geometric distribution گسسته که بیانگر احتمال اولین پیروزی پس از k-1 شکست در فرایند برنولی می‌باشد
هندسی
تابع جرم احتمال
تابع توزیع تجمعی
پارامترها
0
<
p
≤
1
{\displaystyle 0<p\leq 1}
حقیقی )
0
<
p
≤
1
{\displaystyle 0<p\leq 1}
real ) تکیه‌گاه
k
∈
{
1
,
2
,
3
,
…
}
{\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!}
k
∈
{
0
,
1
,
2
,
3
,
…
}
{\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\dots \}\!}
تابع جرم احتمال
(
1
−
p
)
k
−
1
p
{\displaystyle (1-p)^{k-1}\,p\!}
(
1
−
p
)
k
p
{\displaystyle (1-p)^{k}\,p\!}
تابع توزیع تجمعی
1
−
(
1
−
p
)
k
{\displaystyle 1-(1-p)^{k}\!}
1
−
(
1
−
p
)
k
+
1
{\displaystyle 1-(1-p)^{k+1}\!}
میانگین
1
p
{\displaystyle {\frac {1}{p}}\!}
1
−
p
p
{\displaystyle {\frac {1-p}{p}}\!}
میانه
⌈
−
log
(
2
)
log
(
1
−
p
)
⌉
{\displaystyle \left\lceil {\frac {-\log(2)}{\log(1-p)}}\right\rceil \!}
−
log
(
2
)
/
log
(
1
−
p
)
{\displaystyle -\log(2)/\log(1-p)}
مُد
1
0 واریانس
1
−
p
p
2
{\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}\!}
1
−
p
p
2
{\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}\!}
چولگی
2
−
p
1
−
p
{\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!}
2
−
p
1
−
p
{\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!}
کشیدگی
6
+
p
2
1
−
p
{\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!}
6
+
p
2
1
−
p
{\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!}
آنتروپی
−
1
−
p
p
ln
(
1
−
p
)
−
ln
p
{\displaystyle -{\frac {1-p}{p}}\ln(1-p)-\ln p\!}
تابع مولد گشتاور
p
e
t
1
−
(
1
−
p
)
e
t
{\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}\!}
p
1
−
(
1
−
p
)
e
t
{\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\!}
تابع مشخصه
p
e
i
t
1
−
(
1
−
p
)
e
i
t
{\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}}\!}
p
1
−
(
1
−
p
)
e
i
t
{\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)\,e^{it}}}\!}
P
X
(
k
)
=
P
{
X
=
k
}
=
(
1
−
p
)
k
−
1
p
{\displaystyle P_{X}(k)={\text{P}}\{X=k\}=(1-p)^{k-1}\,p}
که در آن p احتمال پیروزی در یک دفعه است.
متغیر تصادفی هندسی
ویرایش
فرض کنید آزمایش‌های مستقلی با احتمال موفقیت p، آن قدر تکرار می‌شود تا یک موفقیت به دست آید. اگر X تعداد آزمایش‌های لازم باشد، آنگاه:
P
{
X
=
n
}
=
(
1
−
p
)
n
−
1
p
n
=
1
,
2
,
3
…
{\displaystyle P\{X=n\}=(1-p)^{n-1}p\qquad n=1,2,3\ldots }
می دانیم شرط لازم و کافی برای X=n آن است که ابتدا، n-1 آزمایش شکست و n اُمین آزمایش موفقیت باشد. از آنجا که برآمدهای متوالی آزمایش‌ها بنا به فرض مستقل هستند داریم [۲]
p
X
(
k
)
=
P
{
X
=
n
}
=
p
(
1
−
p
)
n
−
1
{\displaystyle p_{X}(k)={\text{P}}\{X=n\}=p(1-p)^{n-1}}
هر متغیر تصادفی که تابع جرم احتمال به صورت بالا باشد را یک متغیر (فرایند) تصادفی هندسی با پارامتر p می نامیم.
∑
n
=
1
∞
Pr
{
X
=
n
}
=
p
∑
n
=
1
∞
(
1
−
p
)
n
−
1
=
p
1
−
(
1
−
p
)
=
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\text{Pr}}\{X=n\}=p\sum _{n=1}^{\infty }(1-p)^{n-1}={\frac {p}{1-(1-p)}}=1}
در نتیجه با احتمال ۱، یک موفقیت بالاخره اتفاق می افتد. هر متغیر تصادفی که تابع جرم احتمال به صورت بالا باشد را یک متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p می‌نامیم.
چند مثال ساده
ویرایش
فرض کنیم می خواهیم رمز عبور 8 کاراکتری یک کامپیوتر را حدس بزنیم. چند مرتبه باید این کار را تکرار کنیم؟
فرض کنیم یک دارو به احتمال p سبب درمان شود، دارو روی چندمین بیمار مؤثر واقع می‌شود؟
فرض کنیم احتمال برد یک تیم p باشد، چند مرتبه این تیم باید بازی کند تا یک بازی را ببرد ؟ امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی
ویرایش
قصیه: امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با
E
[
X
]
=
1
p
{\displaystyle {\text{E}}[X]={\frac {1}{p}}}
می دانیم
p
X
(
k
)
=
(
1
−
p
)
k
−
1
p
{\displaystyle p_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}
E
[
X
]
=
∑
x
x
p
X
(
x
)
{\displaystyle {\text{E}}[X]=\sum _{x}xp_{X}(x)}
پس با ترکیب دو رابطه ی بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم
E
[
X
]
=
∑
k
=
0
∞
k
(
1
−
p
)
k
−
1
p
{\displaystyle {\text{E}}[X]=\sum _{k=0}^{\infty }k(1-p)^{k-1}p}
حال اگر فرض کنیم
F
(
p
)
=
∑
k
=
0
∞
(
1
−
p
)
k
=
1
1
−
(
1
−
p
)
=
1
p
{\displaystyle F(p)=\sum _{k=0}^{\infty }(1-p)^{k}={\frac {1}{1-(1-p)}}={\frac {1}{p}}}
داریم
d
F
(
p
)
d
p
=
−
∑
k
=
0
∞
k
(
1
−
p
)
k
−
1
=
−
1
p
2
{\displaystyle {\frac {dF(p)}{dp}}=-\sum _{k=0}^{\infty }k(1-p)^{k-1}=-{\frac {1}{p^{2}}}}
در نتیجه
E
[
X
]
=
p
1
p
2
=
1
p
{\displaystyle {\text{E}}[X]=p{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{p}}}
واریانس متغیر تصادفی هندسی
ویرایش
قضیه: واریانس متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با
var
[
X
]
=
1
−
p
p
2
{\displaystyle {\text{var}}[X]={\frac {1-p}{p^{2}}}}
فرض می کنیم پیشامد
A
=
{
X
=
1
}
{\displaystyle A=\{X=1\}}
B
=
{
X
>
1
}
{\displaystyle B=\{X>1\}}
فضای نمونه ی ما هستند، داریم
E
[
X
2
]
=
E
[
X
2
|
A
]
P
(
A
)
+
E
[
X
2
|
B
]
P
(
B
)
{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}]={\text{E}}[X^{2}|A]{\text{P}}(A)+{\text{E}}[X^{2}|B]{\text{P}}(B)}
می‌دانیم
E
[
X
2
|
A
]
=
E
[
X
2
|
X
=
1
]
=
1
{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}|A]={\text{E}}[X^{2}|X=1]=1}
و
E
[
X
2
|
B
]
=
E
[
X
2
|
X
>
1
]
=
E
[
(
X
+
1
)
2
]
=
E
[
X
2
+
2
X
+
1
]
=
E
[
X
2
]
+
2
p
+
1
{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}|B]={\text{E}}[X^{2}|X>1]={\text{E}}[(X+1)^{2}]={\text{E}}[X^{2}+2X+1]={\text{E}}[X^{2}]+{\frac {2}{p}}+1}
بنابراین
E
[
X
2
]
=
1
×
p
+
(
E
[
X
2
]
+
2
p
+
1
)
(
1
−
p
)
{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}]=1\times p+\left({\text{E}}[X^{2}]+{\frac {2}{p}}+1\right)(1-p)}
E
[
X
2
]
=
2
−
p
p
2
{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}]={\frac {2-p}{p^{2}}}}
در نهایت از آنجا که
var
[
X
]
=
E
[
X
2
]
−
(
E
[
X
]
)
2
{\displaystyle {\text{var}}[X]={\text{E}}[X^{2}]-({\text{E}}[X])^{2}}
var
[
X
]
=
2
−
p
p
2
−
1
p
2
=
1
−
p
p
2
{\displaystyle {\text{var}}[X]={\frac {2-p}{p^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}}
متغیر تصادفی هندسی بدون حافظه است !
ویرایش
فرض کنیم می دانیم تعداد دفعاتی که سکه‌ای را اندخته ایم از n بیشتر است، احتمال اینکه سکه را بیش از n+m دفعه بی اندازیم تا شیر بیاید چقدر است ؟
P
(
X
>
n
+
m
|
X
>
n
)
=
P
(
(
X
>
n
+
m
)
∩
(
X
>
n
)
)
P
(
X
>
n
)
=
P
(
X
>
n
+
m
)
P
(
X
>
n
)
=
(
1
−
p
)
n
+
m
(
1
−
p
)
n
=
(
1
−
p
)
m
{\displaystyle P(X>n+m|X>n)={\frac {P((X>n+m)\cap (X>n))}{P(X>n)}}={\frac {P(X>n+m)}{P(X>n)}}={\frac {(1-p)^{n+m}}{(1-p)^{n}}}=(1-p)^{m}}
پس تنها m بار پرتاب بعدی اهمیت دارد و n بار پرتاب اولیه بی‌ارزش می‌شود.
همچنین می‌توان ثابت کرد اگر یک متغیر تصادفی گسسته بی حافظه باشد، هندسی است. (عکس قضیه)
امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی
ویرایش
امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با:
E
[
X
]
=
1
p
{\displaystyle E[X]={\frac {1}{p}}}
می‌دانیم:
P
X
(
k
)
=
(
1
−
p
)
k
−
1
p
{\displaystyle P_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}
و:
E
[
X
]
=
∑
x
x
P
X
(
x
)
{\displaystyle E[X]=\sum _{x}xP_{X}(x)}
پس با ترکیب دو رابطهٔ بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم:
E
[
X
]
=
∑
k
=
0
∞
k
(
1
−
p
)
k
−
1
p
{\displaystyle E[X]=\sum _{k=0}^{\infty }k(1-p)^{k-1}p}
حال اگر فرض کنیم:
F
(
p
)
=
∑
k
=
0
∞
(
1
−
p
)
k
−
1
=
1
1
−
(
1
−
p
)
=
1
p
{\displaystyle F(p)=\sum _{k=0}^{\infty }(1-p)^{k-1}={\frac {1}{1-(1-p)}}={\frac {1}{p}}}
داریم:
d
F
(
p
)
d
p
=
−
∑
k
=
0
∞
k
(
1
−
p
)
k
−
1
=
−
1
p
2
{\displaystyle {\frac {dF(p)}{dp}}=-\sum _{k=0}^{\infty }k(1-p)^{k-1}=-{\frac {1}{p^{2}}}}
در نتیجه:
E
[
X
]
=
p
1
p
2
=
1
p
{\displaystyle E[X]=p{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{p}}}
واریانس متغیر تصادفی هندسی
ویرایش
واریانس متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با:
V
a
r
[
X
]
=
1
−
p
p
2
{\displaystyle Var[X]={\frac {1-p}{p^{2}}}}
فرض می‌کنیم پیشامد
A
=
{
X
=
1
}
{\displaystyle A=\{X=1\}}
B
=
{
X
>
1
}
{\displaystyle B=\{X>1\}}
با توجه به اینکه A و B افرازهای فضای نمونه ی ما هستند، داریم:
E
[
X
]
=
E
[
X
|
A
]
P
(
A
)
+
E
[
X
|
B
]
P
(
B
)
{\displaystyle E[X]=E[X|A]P(A)+E[X|B]P(B)}
E
[
X
2
]
=
E
[
X
2
|
A
]
P
(
A
)
+
E
[
X
2
|
B
]
P
(
B
)
{\displaystyle E[X^{2}]=E[X^{2}|A]P(A)+E[X^{2}|B]P(B)}
در نتیجه:
E
[
X
2
|
A
]
=
E
[
X
2
|
X
=
1
]
=
1
{\displaystyle E[X^{2}|A]=E[X^{2}|X=1]=1}
و:
E
[
X
2
|
B
]
=
E
[
X
2
|
X
>
1
]
=
E
[
(
X
+
1
)
2
]
=
E
[
X
2
+
2
X
+
1
]
=
E
[
X
2
]
+
2
p
+
1
{\displaystyle E[X^{2}|B]=E[X^{2}|X>1]=E[(X+1)^{2}]=E[X^{2}+2X+1]=E[X^{2}]+{\frac {2}{p}}+1}
پس:
E
[
X
2
]
=
1
∗
p
+
(
E
[
X
2
+
2
p
+
1
)
(
1
−
p
)
{\displaystyle E[X^{2}]=1*p+(E[X^{2}+{\frac {2}{p}}+1)(1-p)}
E
[
X
2
]
=
2
−
p
p
2
{\displaystyle E[X^{2}]={\frac {2-p}{p^{2}}}}
در نهایت از آنجا که می‌دانیم
V
a
r
[
X
]
=
E
[
X
2
]
−
(
E
[
X
]
)
2
{\displaystyle Var[X]=E[X^{2}]-(E[X])^{2}}
V
a
r
[
X
]
=
2
−
p
p
2
−
1
p
2
=
1
−
p
p
2
{\displaystyle Var[X]={\frac {2-p}{p^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}}
![{\displaystyle {\text{E}}[X]={\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60bd4098e8ef5223fb2d942b82cf3ab40f77e789)
![{\displaystyle {\text{E}}[X]=\sum _{x}xp_{X}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2277411c73f4c3c6f7954ded42a4a5fd4caf49e2)
![{\displaystyle {\text{E}}[X]=\sum _{k=0}^{\infty }k(1-p)^{k-1}p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df898dc77a805a0e8561167205e0585a41005482)
![{\displaystyle {\text{E}}[X]=p{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7a4fd86d35ec4ca97168717bdaf5a2bf04024e)
![{\displaystyle {\text{var}}[X]={\frac {1-p}{p^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02418af59b01cdd292aa4c72dfa74858c805f3d)
![{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}]={\text{E}}[X^{2}|A]{\text{P}}(A)+{\text{E}}[X^{2}|B]{\text{P}}(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2182d545b4726fec545ae5e8496fa7e3f780dae)
![{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}|A]={\text{E}}[X^{2}|X=1]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c98c6c5d1242adeb1f65f1a128783325327553)
![{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}|B]={\text{E}}[X^{2}|X>1]={\text{E}}[(X+1)^{2}]={\text{E}}[X^{2}+2X+1]={\text{E}}[X^{2}]+{\frac {2}{p}}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1446443c0a790e8fea0162fb32a0fff8d259798e)
![{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}]=1\times p+\left({\text{E}}[X^{2}]+{\frac {2}{p}}+1\right)(1-p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c1e03d119da524722403f1546e1a4ecb2bc4d1)
![{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}]={\frac {2-p}{p^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c5c6ef9239a0496ba03f7519ad98ce9ea084e1)
![{\displaystyle {\text{var}}[X]={\text{E}}[X^{2}]-({\text{E}}[X])^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd8feb2fcfca959ad180fc47fd9bf58bf43c152)
![{\displaystyle {\text{var}}[X]={\frac {2-p}{p^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cf531ba57710c4a10cc400f065a0a558637a40)
![{\displaystyle E[X]={\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db85df0d1c494b9c8488276e542ac7a055a92492)
![{\displaystyle E[X]=\sum _{x}xP_{X}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828de13726190f2c8f540b9be03a0efe3d528b4c)
![{\displaystyle E[X]=\sum _{k=0}^{\infty }k(1-p)^{k-1}p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df15d452c7936fb26678798d4df809031f85ffea)
![{\displaystyle E[X]=p{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b72f1c5f97a42562501f503e015fe2d8df52f79e)
![{\displaystyle Var[X]={\frac {1-p}{p^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41f38ead7fca4aa7bc913bb5d176f3530af3e4c)
![{\displaystyle E[X]=E[X|A]P(A)+E[X|B]P(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63f3757f3d61d9a0a14b5478aced73df866318c)
![{\displaystyle E[X^{2}]=E[X^{2}|A]P(A)+E[X^{2}|B]P(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e165ebe7afc31d44da3071e7933d5a66164b33a3)
![{\displaystyle E[X^{2}|A]=E[X^{2}|X=1]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e1d1c087b6f8b22adc3bc2ff3312b91133bb08c)
![{\displaystyle E[X^{2}|B]=E[X^{2}|X>1]=E[(X+1)^{2}]=E[X^{2}+2X+1]=E[X^{2}]+{\frac {2}{p}}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b2dae3ffb72299b6318cda34938bec9c7af368)
![{\displaystyle E[X^{2}]=1*p+(E[X^{2}+{\frac {2}{p}}+1)(1-p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb44ea7e9d1d5a731c3280b85298b9a500fef86)
![{\displaystyle E[X^{2}]={\frac {2-p}{p^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b09c06e00b6bb269bd77967cde52e52241ddcc)
![{\displaystyle Var[X]=E[X^{2}]-(E[X])^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0193bfcd15632cfdb0cc694324e77bb35d356a79)
![{\displaystyle Var[X]={\frac {2-p}{p^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359b44e6f580bd3b89f99282d9dac91bf8fdc849)