معادله پائولی

معادله پائولی، که با نام معادله شرودینگر-پائولی نیز شناخته شده‌است، فرمول‌بندی معادله شرودینگر برای ذرات اسپین-۱⁄۲ است که برهمکنش اسپین ذرات با میدان الکترومغناطیسی را در نظر می‌گیرد. این معادله در حقیقت حد غیرنسبیتی معادله دیراک است و در سرعت‌هایی که اثرات نسبیتی قابل چشم‌پوشی هستند، کاربرد دارد. این معادله در سال ۱۹۲۷ توسط ولفگانگ پائولی به دست‌آمد.

جزئیاتویرایش

برای یک ذره با جرم m و بار الکتریکی q در میدان الکترومغناطیسی توصیف‌شده با پتانسیل برداری

 

و پتانسیل اسکالر الکتریکی ϕ، این معادله می‌شود:

معادله پائولی (حالت کلی)

 

که در آن

 

یک بردار سه‌مولفه‌ای از ماتریس‌های پاولی است، یعنی هر مؤلفه آن یک ماتریس پاولی است؛

 

بردار سه‌مولفه‌ای عملگر تکانه است و ∇ عملگر گرادیان است و

 

اسپینور دومولفه‌ای تابع موج است، یک بردار ستونی که با نمادگذاری دیراک نوشته شده‌است. به‌طور صریح‌تر می‌توان معادله پاولی را چنین نوشت:

 

که هامیلتونی در آن، به خاطر وجود ماتریس‌های   پاولی، یک عملگر ماتریسی ۲ × ۲ است .

رابطه با معادله شرودینگر و معادله دیراکویرایش

معادله پائولی غیرنسبیتی است، اما وجود اسپین را پیش‌بینی می‌کند. بنابراین جایگاهی بین معادله شرودینگر و معادله دیراک دارد:

  • معادله شرودینگر غیرنسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی نمی‌کند.
  • معادله دیراک کاملاً نسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی می‌کند.

توجه کنید که به خاطر خواص ماتریس‌های پاولی، اگر بردار   صفر گردد، معادله به همان معادله شرودینگر برای ذره در پتانسیل اسکالر ϕ تبدیل می‌شود.

حالات خاصویرایش

در حضور میدان مغناطیسی خارجی معادله پاولی می‌شود:

معادله پاولی (میدان مغناطیسی)

 

که در آن

 ,

مولفه‌های اسپینور پاولی هستند. B میدان مغناطیسی خارجی است و

 

ماتریس همانی است که به عنوان عملگر همانی عمل می‌کند.

منابعویرایش

  • Schwabl, Franz (2004). Quantenmechanik I. Springer. ISBN 978-3540431060.
  • Schwabl, Franz (2005). Quantenmechanik für Fortgeschrittene. Springer. ISBN 978-3540259046.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe (2006). Quantum Mechanics 2. Wiley, J. ISBN 978-0471569527.