بیضی‌گون

در هندسهٔ تحلیلی، بیضی‌گون (به انگلیسی: Ellipsoid) یک رویهٔ کران‌دار و یکی از انواع رویه‌های درجهٔ دوم است. بیضی‌گون را می‌توان حاصل دفُرمه کردن یک کره تصور کرد.

ویژگی‌ها

سطح مقطع بیضی‌گون

هر سطح مقطع از بیضی‌گون یا یک بیضی است، یا یک نقطه یا تهی. به همین دلیل است که بیضی‌گون (به معنی شبیه بیضی) نامگذاری شده.

تقارن و قطرها

بیضی‌گونی با محورهای تقارن $x$ و $y$ و $z$، مرکز تقارن $O$ و شعاع‌های $a$ و $b$ و $c$

بیضی‌گون سه محور (خط) تقارن دارد که همگی برهم عمود و در یک مرکز (نقطه) تقارن (مرکز بیضی) با یکدیگر متقاطع هستند.

سه پاره‌خط محدود در بیضی و روی محورهای تقارنش را قطرهای بیضی می‌نامند.

حجم

حجم بیضی‌گون به کمک فرمول ${4 \over 3}\pi abc$ زیر به دست می‌آید.

حالت‌های خاص

تصویری از انواع خاص بیضی‌گون با شعاع‌های $a$ و $b$ و $c$: کره (بالا)، کره‌گون (چپ) و بیضی‌گون به‌طور کلّی (راست)

• اگر دو تا از قطرهای بیضی‌گون برابر باشند، به آن کره‌گون نیز می‌گویند که از دوران یک بیضی به دست می‌آید.
• اگر هر سه قطر بیضی با یکدیگر برابر باشند، به آن کره می‌گویند.

معادلهٔ استاندارد

در دستگاه مختصات دکارتی، روش استاندارد نمایش بیضی‌گونی با قطرهای $2a$ و $2b$ و $2c$ و با مرکز در مبدأ مختصات به صورت زیر است:

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$

در ابعاد بالاتر

بیضی‌گون یک رویهٔ درجه دو است. یک ابربیضی‌گون در فضای $\mathbb {R} ^{n}$، یک ابررویهٔ درجه دو است.

یک بیضی‌گون با مرکز در مبدأ مختصات شعاع‌های $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}$، مکان هندسی نقاطی مانند $P=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ است که در معادلهٔ استاندارد زیر صدق کنند:

${x_{1}^{2} \over c_{1}^{2}}+{x_{2}^{2} \over c_{2}^{2}}+\dots +{x_{n}^{2} \over c_{n}^{2}}=1$

محاسبهٔ حجم ابربیضی‌گون شبیه بیضی‌گون است.

جستارهای وابسته

• بیضی
• رویه
• ابر رویهٔ درجهٔ دوم