تعامد (جبر خطی)

در ریاضیات، دو بردار را متعامد[۱] (به انگلیسی: Orthogonal) گویند هرگاه برهم عمود باشند. به عبارت دیگر دو بردار متعامدند اگر و تنها اگر ضرب داخلی آنها برابر با صفر باشد یا با هم زاویهٔ راست (۹۰ درجه) ساخته باشند.

نماد تعامد

تعریف‌ها

 
AB و CD نسبت به هم متعامد هستند.

تعریف. دو بردار   و   را در یک فضای ضرب داخلی   برهم عمودند اگر ضرب داخلی   صفر باشد. این تعامد را با   نشان می‌دهند.

تعریف. دو زیرفضای برداری   و   از یک فضای ضرب داخلی   را زیرفضاهای متعامد می‌گوییم اگر هر بردار از   به هر بردار از   عمود باشد. بزرگ‌ترین زیرفضایی که به یک زیرفضا عمود باشد، متمم عمود آن نامیده می‌شود.

تعریف. یک نگاشت خطی   را نگاشت خطی متعامد می‌گوییم اگر ضرب داخلی را پایسته نگه دارد. یعنی برای هر جفت بردار   و   در فضای ضرب داخلی   داشته باشیم:

 

این یعنی   زاویهٔ بین   و   را ثابت نگه می‌دارد و طول   و   برابر است.

دسته‌ای از بردارهای دوبه‌دو عمود برهم را که طول واحد داشته باشند (بردار یکّه باشند) بردارهای یکّه راست‌هنجار (متعامد یکه) می‌نامیم.

توابع متعامد

مرسوم است که برای توابع   و   ضرب داخلی زیر را تعریف کنیم:

 

که در آن ‎ ‎ تابع وزن نامنفی برای ضرب داخلی است. در این صورت، می‌گوییم دو تابع برهم عمودند اگر ضرب داخلی‌شان صفر باشد:

 

در این ضرب داخلی، طول بردارها (تابع‌ها) از ضرب داخلی بردار در خودش به دست می‌آید:

 

اعضای یک دنباله از توابع { fi: i = ۱, ۲, ۳, ... } متعامد هستند اگر

 

و راست‌هنجار (متعامد یکه) هستند اگر:

 

در رابطهٔ بالا

 

دلتای کرونکر نام دارد. به زبان دیگر هر دو عضوی از این دنباله برهم عمودند و طول‌شان (برای توابع راست‌هنجار) ۱ است. چندجمله‌ای‌های متعامد را ببینید.

مثال‌ها

  • بردارهای (۱, ۳, ۲)، (۳, −۱, ۰) و (۱/۳, ۱, −۵/۳) برهم عمودند، زیرا ‎(۱)(۳) + (۳)(−۱) + (۲)(۰) = ۰, (۳)(۱/۳) + (−۱)(۱) + (۰)(−۵/۳) = ۰, (۱)(۱/۳) + (۳)(۱) − (۲)(۵/۳) = ۰‎.
  • دو تابع 2t + ۳ و 5t2 + t − ۱۷/۹ را در نظر بگیرید. این تابع‌ها در بازهٔ   و با تابع وزن   برهم عمودند. ضرب این دو تابع برابر است با ‎10t3 + 17t2 − 7/9 t − ۱۷/۳‎ و ضرب داخلی‌شان می‌شود:
 
 
 

در آرایه‌شناسی

در آرایه‌شناسی یک طبقه‌بندی متعامد است که در آن در هیچ موردی، هیچ عضوی در بیش از یک گروه عضو نباشد، این به معنی منحصر به فرد بودن متقابل طبقه‌بندی‌ها و عضوها است.

جستارهای وابسته

منابع

  1. «بُردارهای متعامد» [ریاضی] هم‌ارزِ «orthogonal vectors»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر پنجم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۷۶-۴ (ذیل سرواژهٔ بُردارهای متعامد)

کتاب‌های رایگان برخط