ضرب خارجی

در ریاضی، ضرب خارجی (به انگلیسی: Cross Product)، یا ضرب برداری (به انگلیسی: Vector Product)، عمل دوتایی بر دو بردار در فضای سه‌بعدی اقلیدسی است که نتیجه آن برداری است که بر دو بردار اولیه عمود است، در حالی‌که ضرب داخلی دو بردار، به یک اسکالر می‌انجامد.

در بسیاری از کاربردهای فیزیکی و مهندسی، یافتن برداری عمود بر دو بردار لازم است، و برای آن، ضرب خارجی به کار می‌رود.

تعریف

قانون دست راست برای یافتن جهت بردار حاصلضرب خارجی دو بردار.

حاصلضرب خارجی دو بردار a و b با a × b نمایش داده می‌شود. در فضای اقلیدسی سه‌بعدی در دستگاه مختصات راست‌گرد، حاصلضرب خارجی دو بردار، برداری است مانند c که بر دو بردار a و b عمود است و جهت آن با استفاده از قانون دست راست تعیین می‌گردد و اندازه آن برابر است با مساحت متوازی‌الأضلاعی که این دو بردار دو ضلع مجاور آن را تشکیل می‌دهند. یعنی:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =a\,b\sin \theta \ \mathbf {\hat {n}}$

که θ زاویه بین دو بردار a و a , b و b اندازه این دو بردار، و $\mathbf {\hat {n}}$ بردار یکه در راستای عمود بر دو بردار a و b بر پایهٔ قانون دست راست است.

همچنین برای به‌دست‌آوردن حاصل‌ضرب خارجی بدون استفاده از زاویه بین دو بردار، ماتریسی n*n نوشته و کهادهای ماتریس را محاسبه می‌کنیم. برای مثال در ماتریسی ۳*۳ نوشته و i , j , k را در سطر اول، مؤلفه‌های بردار اول و دوم را به ترتیب در سطر دوم و سوم ماتریس می‌نویسیم. نتیجه برای دو بردار $\mathbf {a} =(a_{1}\mathbf {i} ,a_{2}\mathbf {j} ,a_{3}\mathbf {k} )$ و $\mathbf {b} =(b_{1}\mathbf {i} ,b_{2}\mathbf {j} ,b_{3}\mathbf {k} )$ به صورت زیر خواهد بود:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\Big (}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} ,(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} ,(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} {\Big )}$

جهت بردار حاصل از یک ضرب خارجی

برای تعیین جهت پاسخ ضرب خارجی یک بردار می‌توان مطابق با شکل بالا از قانون دست راست استفاده کرد. در حقیت در این روش انگشتان دست راست را در راستای بردار a قرار داده و سپس انگشت وسط را به سمت بردار b می‌چرخانیم. در این حالت جهت شست دست، بردار a×b را نشان می‌دهد.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Cross product». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۹ فوریه ۲۰۰۸.

شهریاری، پرویز، محاسبه برداری (۱۳۶۹) انتشارات تهران (کاربردها)