فهرست اصطلاحات هندسه حسابی و سیاله‌ای

این فهرست، واژه‌نامه‌ای از هندسه حسابی و سیاله‌ای (Arithmetic and Diophantine Geometry) (یا هندسه حسابی و دیوفانتینی) است. این بخش از ریاضیات شامل حوزه‌های مطالعاتی است که از نظر تاریخی با مطالعه سنتی معادلات سیاله‌ای رشد کرده و گسترش یافته‌اند به گونه‌ای که اکنون بخش‌های بزرگی از نظریه اعداد و هندسه جبری را شامل می‌شوند. عمده این نظریه به شکل حدس‌های پیشنهاد شده‌ای اند که می‌توان آن‌ها را در سطوح مختلفی از تعمیم‌ها و کلی‌سازی‌ها به یکدیگر مرتبط ساخت.

هندسه سیاله‌ای در حالت کلی به مطالعه واریته‌های جبری چون $V$ می‌پردازد که بر روی میدان‌های به‌خصوصی تعریف شده باشند. این میدان‌ها شامل این مواردند: میدان‌های موضعی، میدان‌هایی که بر روی میدان‌های اول خود متناهیاً تولید شده باشند. میدان اعداد و میدان‌های متناهی از جمله میدان‌های مورد علاقه در این حوزه می‌باشند. از میدان‌های مذکور فقط میدان اعداد مختلط بسته جبری است. حتی با دانستن هندسه $V$ ، اگر میدان پایه‌ای هر میدان دیگری غیر از اعداد مختلط باشد، این که واریته مورد نظر دارای نقاطی با مختصات آن میدان است یا خیر، نیاز به اثبات و مطالعه به عنوان موضوع مجزا دارد.

هندسه حسابی را می‌توان به‌طور کلی‌تر به عنوان مطالعه اسکیم‌هایی از نوع متناهی روی طیف حلقه اعداد صحیح تعریف نمود.^[۱] هندسه حسابی به صورت کاربرد فنون هندسه جبری در مسائل نظریه اعداد نیز تعریف شده‌است.^[۲]

ا ویرایش

ارتفاع آراکلوف

ارتفاع آراکلوف روی یک فضای تصویری که میدان پایه‌ای آن، میدان اعداد جبری اند، تابع ارتفاع سرتاسری است که اطلاعات موضعی آن از این متریک‌ها نشأت می‌گیرند: متریک‌های فوبینی-استادی روی میدان‌های ارشمیدسی و متریک عادی‌اش که روی میدان‌های غیر-ارشمیدسی تعریف می‌شوند.^[۳]^[۴]

ارتفاع کانونی

ارتفاع کانونی روی واریته آبلی، ارتفاع یک فرم مربعی است. ارتفاع نرون-تیت را ببینید.

ب ویرایش

بعد سیاله‌ای

بعد سیاله‌ای یک میدان، کوچک‌ترین عدد طبیعی k (در صورت وجود) است که میدان مورد نظر از رده

C_{k}

باشد؛ یعنی، چنان‌که هر چندجمله‌ای همگن N متغیره از درجه d، هنگامی که

N>d^{k}

، دارای صفر نابدیهی باشد. میدان‌های بسته جبری، دارای بعد سیاله‌ای صفر، و میدان‌های شبه-بسته دارای بعد ۱ اند.^[۵]

ت ویرایش

توابع ال آرتینی

توابع L آرتینی به صورت نمایش‌های گالوای بسیار تعمیم‌یافته تعریف شده‌اند. معرفی کوهمولوژی اتال در دهه ۱۹۶۰ میلادی بدین معنا بود که توابع ال هس-ویل را می‌توان به عنوان توابع ال آرتینی برای نمایش‌های گالوای روی گروه‌های کوهمولوژی l-ادیک در نظر گرفت.

ح ویرایش

حدس abc

حدس abc از مسر (Masser) و استرل (Oesterlé)، تلاش می‌کند تا حد ممکن در مورد عوامل اول مکرر (تکرار شونده) در معادله

a+b=c

اطلاعاتی ارائه کند. به عنوان مثال ۳+۱۲۵=۱۲۸ اما توان‌های اعداد اول استثنایی اند.

حدس برچ و سووینرتون-دایر

حدس برچ و سووینرتون-دایر روی خم‌های بیضوی، ارتباطاتی بین رتبه یک خم بیضوی و مرتبه قطع تابع ال هس-ویل آن را فرضیه سازی می‌کند. این حدس از اواسط دهه ۱۹۶۰ میلادی، نقطه تحولی در هندسه سیاله‌ای بوده که نتایجی چون این موارد را دربردارد: قضیه کوتس-وایلز، قضیه گراس-زگیر و قضیه کلیواگین

حساب روی واریته‌های آبلی

مطالعه واریته‌ای آبلی، یا خانواده‌ای از واریته‌های آبلی که تبدیل به مبحث اساسی در هندسه حسابی شده‌است، هم از نظر نتایج و هم حدسیاتی که در ارتباط با آن‌ها مطرح شده‌اند.

ر ویرایش

روش چاباوتی

روش چاباوتی، براساس توابع تحلیلی p-ادیک عمل می‌کند. این روش قادر به اثبات حالت‌های خاصی از حدس موردل است، مواردی که خم‌های بیضوی دارای رتبه ژاکوبی کمتر از بعدشان باشند. این روش ایده‌هایی را از روش تورالف اسکولم برای چنبره‌های جبری اقتباس کرده و توسعه داده‌است.

روش دوورک

برنارد دوورک از روش‌های متمایز آنالیز p-ادیک، معادلات دیفرانسیل جبری p-ادیک، مجتمع‌های کسزول و سایر فنونی که همگیشان در نظریات عمومی چون کوهمولوژی بلوری جذب نشده‌اند، استفاده نمود. او ابتدا گویا بودن توابع زتای موضعی را اثبات نمود که پیشرفت اولیه در جهت حدس‌های ویل بود.

ف ویرایش

فرم‌های قطری

فرم‌های قطری جزو ساده‌ترین واریته‌های تصویری جهت مطالعه از نقطه نظر حسابی اند (شامل واریته‌های فرما). توابع زتای موضعیشان برحسب جمع‌های ژاکوبی محاسبه شده‌اند. مسئله وارینگ، کلاسیک‌ترین حالت است.

ق ویرایش

قضیه کوتس-وایلز

این قضیه بیان می‌دارد که یک خم بیضوی مجهز به نظریه ضرب مختلط و میدان مربعی موهومی دارای عدد رده‌ای ۱ و رتبه مثبت، دارای تابع اِلی خواهد بود که در s=۱ صفر است. این مورد خاصی از حدس برچ و سووینرتون-ایر می‌باشد.

ک ویرایش

کاهش بد

کاهش خوب را ببینید

کوهمولوژی بلوری

کوهمولوژی بلوری، نظریه کوهمولوژی p-ادیکی با مشخصه p است که توسط الکساندر گروتندیک معرفیی شد تا شکاف برجای مانده توسط کوهمولوژی اتال هنگام استفاده از ضرایب به پیمانه p در این حالت را پر کند. این نظریه، یکی از نظریاتی است که به نوعی از روش دوورک مشتق شده و دارای کاربردهایی در خارج از حیطه سؤال‌های حسابی محض می‌باشد.

گ ویرایش

گروه رده‌ای آراکلوف

این گروه، مشابه گروه رده ایده‌آل یا گروه رده مقسوم‌علیهی برای مقسوم‌علیه‌های آراکلوف است.^[۶]

م ویرایش

مبین یک نقطه

مبین یک نقطه، به دو مفهوم به هم مرتبط اشاره دارد که برای نقاطی چون P از واریته جبری V روی میدان K تعریف شده‌است: مبین هندسی (لگاریتمی)^[۷] با نماد

d(p)

و مبین حسابی توسط وویتا تعریف شده‌اند.^[۸] تفاوت بین این دو مبین را می‌توان با تفاوت بین گونای حسابی یک خم تکین و گونای هندسی تکین-زدایی مقایسه نمود.^[۸] گونای حسابی بزرگتر از گونای هندسی بوده و ممکن است ارتفاع یک نقطه برحسب گونای حسابی، کراندار باشد. بدست آوردن کران‌های مشابه که مربوط به گونای هندسی باشند، دارای پیامدهای قابل توجهی می‌باشند.^[۸]

مقسوم‌علیه آراکلوف

مقسوم‌علیه آراکلوف (یا مقسوم‌علیه پر^[۹]) روی میدان سرتاسری، توسعه‌ای از مفهوم مقسوم‌علیه یا ایده‌آل کسری است. این مقسوم‌علیه، ترکیب خطی صوری از مکان‌های میدان است، به گونه‌ای که مکان‌های متناهی دارای ضرایب صحیح و مکان‌های نامتناهی دارای ضرایب حقیقی اند.^[۶]^[۱۰]^[۱۱]

ن ویرایش

نظریه آراکلوف

نظریه آراکلوف رهیافتی به هندسه حسابی است که به‌طور صریح شامل «اول‌های نامتناهی» می‌باشد.

ارجاعات ویرایش

↑ Arithmetic geometry in nLab
↑ Sutherland, Andrew V. (September 5, 2013). "Introduction to Arithmetic Geometry" (PDF). Retrieved 22 March 2019.
↑ Bombieri & Gubler (2006) pp.66–67
↑ Lang (1988) pp.156–157
↑ Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008). Cohomology of Number Fields. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Vol. 323 (2nd ed.). Springer-Verlag. p. 361. ISBN 978-3-540-37888-4.
↑ ^۶٫۰ ^۶٫۱ Schoof, René (2008). "Computing Arakelov class groups". In Buhler, J.P.; P., Stevenhagen (eds.). Algorithmic Number Theory: Lattices, Number Fields, Curves and Cryptography. MSRI Publications. Vol. 44. Cambridge University Press. pp. 447–495. ISBN 978-0-521-20833-8. MR 2467554. Zbl 1188.11076.
↑ Lang (1997) p.146
↑ ^۸٫۰ ^۸٫۱ ^۸٫۲ Lang (1997) p.171
↑ Neukirch (1999) p.189
↑ Lang (1988) pp.74–75
↑ van der Geer, G.; Schoof, R. (2000). "Effectivity of Arakelov divisors and the theta divisor of a number field". Selecta Mathematica. New Series. 6 (4): 377–398. arXiv:math/9802121. doi:10.1007/PL00001393. S2CID 12089289. Zbl 1030.11063.

منابع ویرایش

Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. Vol. 4. Cambridge University Press. doi:10.2277/0521846153. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034.
Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 201. ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023.
Lang, Serge (1988). Introduction to Arakelov theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96793-1. MR 0969124. Zbl 0667.14001.
Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Zbl 0956.11021.

برای مطالعه بیشتر ویرایش

Dino Lorenzini (1996), An invitation to arithmetic geometry, AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-0267-0

[1] Arithmetic geometry in nLab

[2] Sutherland, Andrew V. (September 5, 2013). "Introduction to Arithmetic Geometry" (PDF). Retrieved 22 March 2019.

[3] Bombieri & Gubler (2006) pp.66–67

[4] Lang (1988) pp.156–157

[NSW361-5] Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008). Cohomology of Number Fields. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Vol. 323 (2nd ed.). Springer-Verlag. p. 361. ISBN 978-3-540-37888-4.

[Sch08-6] ۶٫۰ ^۶٫۱ Schoof, René (2008). "Computing Arakelov class groups". In Buhler, J.P.; P., Stevenhagen (eds.). Algorithmic Number Theory: Lattices, Number Fields, Curves and Cryptography. MSRI Publications. Vol. 44. Cambridge University Press. pp. 447–495. ISBN 978-0-521-20833-8. MR 2467554. Zbl 1188.11076.

[L146-7] Lang (1997) p.146

[L171-8] ۸٫۰ ^۸٫۱ ^۸٫۲ Lang (1997) p.171

[Neukirch189-9] Neukirch (1999) p.189

[10] Lang (1988) pp.74–75

[11] van der Geer, G.; Schoof, R. (2000). "Effectivity of Arakelov divisors and the theta divisor of a number field". Selecta Mathematica. New Series. 6 (4): 377–398. arXiv:math/9802121. doi:10.1007/PL00001393. S2CID 12089289. Zbl 1030.11063.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

[۷]

[۸]

[۹]

[۱۰]

[۱۱]