در جبر مجرد، هم‌ریختی نگاشتی است بین دو ساختار جبری (مانند دو گروه، حلقه یا فضای برداری). هر هم‌ریختی که یک به یک و پوشا باشد را یک‌ریختی می‌نامیم. کلمهٔ همومرفیسم در زبان یونان باستان از کلمهٔ ὁμός (homos) به معنی «یکسان» و μορφή (morphe) به معنی «ریخت» یا «شکل» گرفته شده است.

هم‌ریختی فضاهای برداری را نگاشت های خطی، و مطالعه‌شان را جبر خطی گویند.

مفهوم هم‌ریختی تحت عنوان ریخت، به ساختار های بسیار دیگری که بنیان مجموعه ای ندارند یا حتی جبری نیستند نیز تعمیم یافته است. این تعمیم نقطه آغازین نظریه رسته‌هاست.

هم‌ریختی می تواند یک‌ریختی، درون‌ریختی، خودریختی و ... نیز باشد. (ادامه مقاله را ببینید). هر کدام از این ها را میتوان به گونه ای تعریف کرد که به هر کلاس از ریخت‌ها نیز تعمیم یابد.

تعریفویرایش

یک هم‌ریختی، نگاشتی بین دو ساختار جبری از یک سنخ می باشد که عملیات ساختارها را حفظ می کند. یعنی نگاشتی چون   بین دو مجموعه   که هردو به یک ساختار و در نتیجه به یک عملگر مجهز باشند، چنان که اگر   عملی روی این ساختار باشد (در اینجا برای ساده سازی فرض می کنیم که عملگر مد نظر یک عملگر دوتاییست)، آنگاه برای هر   در   [یادداشت ۱] داریم:

 

می گویند   عملیات را حفظ می کند یا با آن سازگاری دارد.

به طور صوری، نگاشتی چون   یک عملیات  -تایی چون   را که بر روی هردوی   و   تعریف شده است، حافظ ساختار است اگر برای تمام   در   داشته باشیم:

 

عملیاتی که باید تحت هم‌ریختی‌ها حفظ شوند شامل عملیات 0-تایی، یعنی ثوابت نیز می شود. زمانی که ساختار های مذکور عنصر همانی داشته باشند، عنصر همانی دامنه باید به عنصر همانی متناظر با آن در هم‌دامنه نگاشته شود.

به عنوان مثال:

  • یک هم‌ریختی نیم‌گروهی نگاشتی بین نیم‌گروه‌هاست که عمل نیم‌گروه را حفظ می کند.
  • یک هم‌ریختی مونوئیدی نگاشتی بین مونوئیدهاست که عمل مونوئید را حفظ کرده و عنصر همانی مونوئید اول را به عمل دوتایی مونوئید دومو می نگارد (درینجا عنصر همانی عمل 0-تاییست).
  • یک هم‌ریختی گروهی، نگاشتی بین گروه‌هاست که عمل گروهی را حفظ می کند. این هم‌ریختی منجر به این می شود که عنصر همانی گروه اول به عنصر همانی گروه دوم نگاشته شده و عنصر معکوس یک عضو از گروه اول به معکوس تصویر آن عضو نگاشته می شود. لذا هم‌ریختی نیم‌گروهی بین گروه ها لزوماً یک هم‌ریختی گروهیست.
  • یک هم‌ریختی حلقه ای نگاشتی بین حلقه‌هاست که جمع حلقه ای، ضرب حلقه ای و عنصر همانی ضربی حلقه را حفظ می کند. این که آیا همانی ضربی حفظ می شود بستگی به تعریف حلقه مورد استفاده دارد. اگر همانی ضربی حفظ نشود، به تعریف هم‌ریختی رانگ rng می رسیم.
  • نگاشت خطی هم‌ریختی ای از فضاهای برداریست. یعنی هم‌ریختی گروهی بین فضاهای برداری که ساختار گروه آبلی و ضرب اسکالر را حفظ می کند.
  • یک هم‌ریختی مدولی که به آن نگاشت خطی بین مدول‌ها نیز گفته می شود به طور مشابه تعریف می شود.
  • یک هم‌ریختی جبری نگاشتی است که عملیات جبری را حفظ می کند.

ممکن است یک ساختار جبری بیش از یک عمل داشته باشد و برای حفظ هر کدام از آن عمل‌ها نیاز به یک هم‌ریختیست. لذا نگاشتی که فقط برخی از آن عمل‌ها را حفظ کند هم‌ریختی ساخار نیست، بلکه صرفاً هم ریختی آن ساختار تحت عمل‌های حفظ شده می باشد. به عنوان مثال، نگاشتی بین مونوئیدها که عمل مونوئید را حفظ کرده اما عنصر همانی را حفظ نکند یک هم‌ریختی مونوئیدی نیست، بلکه صرفاً یک هم‌ریختی نیم‌گروهیست.

مثال‌هاویرایش

 
هم‌ریختی مونوئیدی   از مونوئید   به مونوئید   که به صورت   تعریف شده است. این هم‌ریختی یک به یک است اما پوشا نیست.

اعداد حقیقی تشکیل یک حلقه می دهند که در آن هم عمل جمع وجود دارد و هم عمل ضرب. مجموعه تمام ماتریس های   نیز تحت اعمال جمع و ضرب ماتریسی تشکیل یک حلقه می دهند. اگر ما تابعی بین این دو حلقه (اعداد حقیقی و ماتریس های  ) به صورت زیر تعریف کنیم:

 

که در آن   یک عدد حقیقیست، آنگاه   هم‌ریختی بین حلقه ها خواهد بود، چرا که   هم جمع را حفظ می کند:

 

هم ضرب را:

 

به عنوان مثالی دیگر، اعداد مختلط ناصفر را در نظر بگیرید، این اعداد مانند اعداد حقیقی ناصفر تحت عمل ضرب تشکیل یک گروه می دهند (صفر از هردوی این گروه‌ها باید حذف شود چرا که معکوس ضربی ندارد، که از شرایط ضروری گروه‌هاست). تابعی مثل   از اعداد مختلط ناصفر به اعداد حقیقی ناصفر به صورت زیر تعریف می کنیم:

 

یعنی   قدرمطلق عدد مختلط   است. آنگاه   هم‌ریختی گروه‌هاست، چرا که ضرب را حفظ می کند:

 

توجه کنید که   را نمی توان به هم‌ریختی حلقه ای بسط داد (هم‌ریختی حلقه ای از اعداد مختلط به اعداد حقیقی)، چرا که جمع را حفظ نمی کند:

 

به عنوان مثالی دیگر، درون تصویر نمودار هم‌ریختی  ی از مونوئید   به   نشان داده شده. به علت مختلف بودن اعمال دوتایی این دو ساختار، خاصیت هم‌ریختی   به صورت   نشان داده می شود و داریم  .

یک جبر ترکیبیاتی   روی میدان   که به فرم مربعی باشد را نرم نامیده که به صورت   است و یک هم‌ریختی گروهی از گروه ضربی   به گروه ضربی   می باشد.

هستهویرایش

هر هم‌ریختی   یک رابطه هم ارزی   را روی   بدین صورت تعریف می کند که   اگر و تنها اگر  . رابطه   را هسته‌ی   گویند. این رابطه، یک رابطه هم ارزی روی   است. مجموعه خارج قسمتی   را می توان به گونه ای طبیعی، با تعریف عملیات بین دسته های هم ارزی   مجهز به همان ساختار کرد. درین صورت، تصویر   در   تحت هم‌ریختی   لزوماً یک‌ریخت با   می باشد، حقیقت اخیر یکی از قضایای یک ریختیست. زمانی که ساختار جبری مد نظر برای برخی از عمل‌ها گروه باشد، کلاس هم ارزی   مربوط به عنصر همانی این عمل برای تعیین و مشخصه سازی رابطه کافیست. در این صورت، خارج قسمت رابطه هم ارزی به صورت   نمایش داده می شود (به صورت "  به هنگ  " یا "  به پیمانه  " خوانده می شود). همچنین در این صورت، بیشتر به   هسته   می گویند تا  . هسته‌های هم‌ریختی از نوع یک ساختار جبری داده شده، طبیعتاً خود مجهز به ساختاریست. این ساختارِ مربوط به هسته، هم سنخ با ساختار جبری است که بر روی آن کار می کنیم (صورت و مخرج های کسر)، مثلاً اگر صورت و مخرج کسر از نوع گروه آبلی، فضای برداری یا مدول باشد خارج قسمت ما نیز از همین نوع است، اما به خاطر ویژگی های خاصی که دارد معمولاً اگر هسته یک هم‌ریختی گروهی باشد به آن زیر گروه نرمال و اگر هسته هم‌ریختی حلقه ای باشد بدان ایده‌آل گویند (در مورد حلقه های ناجابجایی،هسته ها ایده آل های دوسویه هستند.).

هم‌ریختی‌های خاصویرایش

چندین نوع از هم‌ریختی‌ها برای خود نام های خاصی دارند، که تعمیمشان به ریخت‌های نظریه رسته‌ها نیز از همین نام‌ها بهره می برند.

یک‌ریختیویرایش

یک یک‌ریختی بین دو ساختار جبری هم‌سنخ را اغلب به صورت هم‌ریختی دوسویه تعریف می کنند.[۱]:۱۳۴ [۲]:۲۸

در بستر عام تر نظریه رسته‌ها، یک‌ریختی به صورت ریخت تعریف می شود، ریختی که دارای معکوسیست که خود آن هم ریخت باشد. در مورد ساختارهای جبری خاص، این دو تعریف معادل هستند، گرچه که ممکن است برای ساختارهای غیر جبری که دارای مجموعه زیرین باشند این دو تعریف متفاوت باشد.

به طور دقیق تر اگر:

 

یک (هم)ریخت باشد، دارای معکوس است اگر وجود داشته باشد:

 

چنان که:

 

اگر   و   دارای مجموعه زیرین باشند و   دارای معکوس   باشد، آنگاه   دوسویه است. در حقیقت   یک به یک است، چرا که   نتیجه می دهد   و   پوشاست چرا که برای هر   در   داریم   و   تصویر عنصری از   است.

برعکس، اگر   یک هم‌ریختی دو سویه بین ساختارهای جبری باشد، فرض کنید   نگاشتی باشد چنان که   عنصر منحصر به فردی چون   از   بوده چنان که  . در نتیجه داریم   و  ، و تنها چیزی که باقی می ماند این است که نشان دهیم   یک هم‌ریختیست. اگر   یک عمل دوتایی این ساختار باشد، برای هر جفت   از عناصر   داریم:

 

و لذا   با   سازگار خواهد بود. اثبات آن برای هر عمل چندتایی دیگر هم مشابه عمل دوتاییست، و از آن نتیجه می گیریم که   یک هم‌ریختیست.

این اثبات برای ساختارهای غیر جبری کار نمی کند. به عنوان مثال، برای فضاهای توپولوژیکی، ریخت را نگاشت پیوسته گویند، و معکوس نگاشت پیوسته دو سویه لزوماً پیوسته نیست. یک‌ریختی در فضاهای توپولوژی را همسان‌ریختی یا نگاشت دوپیوسته (نگاشتی که هم خودش و هم معکوسش پیوسته باشند) گویند.

درون‌ریختیویرایش

یک درون‌ریختی، هم‌ریختیست که دامنه اش برابر با هم دامنه‌اش باشد، یا به طور کلی تر ریختی که منبع آن با هدفش برابر باشد.[۱]:۱۳۵

درون‌ریختی‌های یک ساختار جبری، یا شیئی از یک رسته تحت عمل ترکیب تشکیل مونوئید می دهد.

درون‌ریختی‌های یک فضای برداری یا یک مدول تشکیل یک حلقه می دهد. در حالتی که در بستر فضاهای برداری یا مدول‌های آزاد متناهی بعد کار می کنیم، انتخاب پایه، یک‌ریختی حلقه‌ای بین حلقه درون‌ریختی‌ها و حلقه ماتریس‌های مربعی هم بعد القاء می کند.

خودریختیویرایش

یک خودریختی، درون‌ریختیست که علاوه بر درون‌ریختی، یک‌ریختی نیز می باشد.[۱]:۱۳۵

خودریختی‌های یک ساختار جبری یا یک شئ از یک رسته، تحت عمل ترکیب، تشکیل گروه می دهد که به آن گروه خودریختی‌های آن ساختار می گوییم.

بسیاری از گروه‎هایی که بر روی آن ها نامی قرار داده شده، خود گروه خودریختی از یک ساختار جبری اند. به عنوان مثال، گروه خطی عمومی   گروه خودریختی فضاهای برداری   بعدی روی یک میدان   می باشد.

گروه‌های خودریختی میدان‌ها توسط اواریسته گالوا به منظور مطالعه ریشه چند جمله‌ای ها معرفی شدند و اکنون پایه نظریه گالوا می باشند.

تک‌ریختیویرایش

برای ساختارهای جبری، تک‌ریختی ها عمدتاً به صورت هم‌ریختی های یک به یک تعریف می شوند.[۱]:۱۳۴ [۲]:۲۹

در حالت کلی تر، در نظریه رسته ها، یک تک‌ریختی به صورت ریختی تعریف می شود که خاصیت چپ حذف شدنی دارد.[۳] این بدین معناست که (هم)ریختی   تک ریختیست اگر برای هر جفت   از ریخت ها از هر شئ درون رسته   به شئ   از   نتیجه بگیریم که  .

بروریختیویرایش

در جبر، بروریختی‌ها را اغلب به صورت هم‌ریختی های پوشا تعریف می کنند.[۱]:۱۳۴[۲]:۴۳ از سوی دیگر، در نظریه رسته‌ها، بروریختی‌ها را به صورت ریخت‌هایی تعریف می کنند که خاصیت راست حذف شدنی دارند.[۳] این بدین معناست که (هم)ریختی   بروریختیست اگر برای هر جفت   از ریخت‌هایی که از شئ   به هر شئ دیگری از رسته   می روند از   نتیجه بگیریم که  .

یادداشت‌هاویرایش

  1. اغلب، اما نه همیشه، حتی زمانی که دو مجموعه مجهز به دو ساختار متفاوت، و در نتیجه دو عمل متفاوت باشند، عملیات مربوط به هر دو مجموعه مذکور را با یک نماد نمایش می دهند.


ارجاعاتویرایش

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ ۱٫۲ ۱٫۳ ۱٫۴ Birkhoff, Garrett (1967) [1940], Lattice theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, 25 (3rd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1025-5, MR 0598630
  2. ۲٫۰ ۲٫۱ ۲٫۲ Stanley N. Burris; H.P. Sankappanavar (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9.
  3. ۳٫۰ ۳٫۱ Mac Lane, Saunders (1971). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5. Springer-Verlag. Exercise 4 in section I.5. ISBN 0-387-90036-5. Zbl 0232.18001.


منابعویرایش