غلتان

در هندسه دیفرانسیل منحنی‌ها، غَلتان یا «رولت» (انگلیسی: Roulette) به نوعی از منحنی گفته می‌شود که تعمیمی از چرخ‌زاد، برون‌چرخ‌زاد، درون‌چرخ‌زاد، چرخه‌زاد، برون‌چرخه‌زاد، درون‌چرخه‌زاد و گستران باشد. در سطح پایه، خَمِ غلتان مسیری است که توسط یک منحنی در حین غلتش بر روی منحنی دیگر بدون لغزش، ردیابی می‌شود.

تعریف

تعریف غیررسمی

سهمی سبزرنگ در امتداد سهمی آبی‌رنگ مساوی که ثابت می‌ماند، می‌غلتد. مولد رأس سهمی غلتان است و رولت را توصیف می‌کند که به رنگ قرمز نشان داده شده است. در این حالت رولت سیسوئید دیوکلز است.

به‌طور کلی، غلتان منحنی‌ای است که توسط یک نقطه (به نام «مولد» یا «قطب») متصل به یک منحنی معین توصیف می‌شود، زیرا آن منحنی بدون لغزش در امتداد یک منحنی ثابت معین دیگر می‌غلتد. به‌طور دقیق‌تر، با توجه به یک منحنی متصل به یک صفحه که در حال حرکت است به طوری که منحنی بدون لغزش در امتداد یک منحنی معین متصل به یک صفحه ثابت که فضای یکسانی را اشغال می‌کند، می‌غلتد، آنگاه یک نقطه متصل به صفحه متحرک منحنی را در صفحه ثابت توصیف می‌کند که به آن غلتان می‌گویند.

موارد خاص و مفاهیم مرتبط

در حالتی که منحنی غلتان یک خط باشد و مولد نقطه‌ای روی خط باشد، رولت، گستران منحنی ثابت نامیده می‌شود. اگر منحنی غلتان یک دایره و منحنی ثابت یک خط باشد، رولت یک چرخه‌زاد است. اگر در این حالت نقطه روی دایره قرار گیرد، رولت یک چرخ‌زاد است.

یک مفهوم مرتبط، گلیست (glissette) است، منحنی توصیف شده توسط یک نقطه متصل به یک منحنی معین که در امتداد دو (یا بیشتر) منحنی معین می‌لغزد.

تعریف رسمی

به‌طور رسمی، منحنی‌ها باید منحنی‌های تابع دیفرانسیل‌پذیر در صفحه باشند. «منحنی ثابت» بدون تغییر نگه داشته می‌شود؛ «منحنی غلتان» تحت یک تابع پیوسته هم‌نهشت تغییر شکل می‌دهد به طوری که در همه زمان‌ها منحنی‌ها در نقطه‌ای از تماس که با سرعت یکسان در هنگام حرکت در امتداد هر منحنی حرکت می‌کند، مماس هستند (راه دیگر برای بیان این محدودیت این است که نقطه تماس دو منحنی، مرکز آنی دوران تبدیل هم‌نهشتی است). رولت حاصل از مکان هندسی مولد تحت همان مجموعه تبدیلات هم‌نهشتی تشکیل می‌شود.

با مدل‌سازی منحنی‌های اصلی به عنوان منحنی در صفحه مختلط، فرض کنید $r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ دو پارامتری‌سازی طبیعی منحنی‌های غلتان ($r$) و ثابت ($f$) باشند، به طوری که $r(0)=f(0)$، $r'(0)=f'(0)$ و $|r'(t)|=|f'(t)|\neq 0$ برای همه $t$. سپس رولت مولد $p\in \mathbb {C}$ در حالی که $r$ روی $f$ می‌غلتد، با نگاشت زیر به دست می‌آید:

$t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}.$

تعمیم‌ها

اگر به جای یک نقطه متصل به منحنی غلتان، منحنی دیگری در امتداد صفحه متحرک حمل شود، خانواده‌ای از منحنی‌های همنهشت تولید می‌شود. پوشش این خانواده را نیز می‌توان رولت نامید.

رولت‌ها در فضاهای با ابعاد بالاتر را مطمئناً می‌توان تصور کرد، اما باید بیش از مماس‌ها را تراز کرد.

مثال

اگر منحنی ثابت یک زنجیره‌وار و منحنی غلتان یک خط (هندسه) باشد، داریم:

$f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)$

$f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).$

پارامتری‌سازی خط به گونه‌ای انتخاب می‌شود که

$|f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}=|r'(t)|.$

با اعمال فرمول بالا به دست می‌آوریم:

$f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.$

اگر p = −i باشد، عبارت دارای یک بخش موهومی ثابت (یعنی -i) است و غلتان یک خط افقی است. یک کاربرد جالب این موضوع این است که یک چرخ مربع می‌تواند بدون پرش روی جاده‌ای که یک سری از کمان‌های زنجیره‌وار منطبق است، بغلتد.

فهرست غلتان‌ها

منحنی ثابت	منحنی غلتان	نقطه مولد	منحنی غلتان
هر منحنی	خط	نقطه روی خط	گستران منحنی
خط	هر	هر	Cyclogon
خط	دایره	هر	چرخه‌زاد
خط	دایره	نقطه روی دایره	چرخ‌زاد
خط	مقطع مخروطی	مرکز مخروطی	رولت اشتورم
خط	مقطع مخروطی	کانون مخروطی	رولت دلونای
خط	سهمی	کانون سهمی	زنجیره‌وار
خط	بیضی	کانون بیضی	زنجیره‌وار بیضوی
خط	هذلولی	کانون هذلولی	زنجیره‌وار هذلولوی
خط	هذلولی	مرکز هذلولی	الاستیک مستطیلی
خط	Cyclocycloid	مرکز	بیضی
دایره	دایره	هر	Centered trochoid
خارج یک دایره	دایره	هر	برون‌چرخه‌زاد
خارج یک دایره	دایره	نقطه روی دایره	برون‌چرخ‌زاد
خارج یک دایره	دایره با شعاع یکسان	هر	لیماسون
خارج یک دایره	دایره با شعاع یکسان	نقطه روی دایره	دل‌گون
خارج یک دایره	دایره با نصف شعاع	نقطه روی دایره	گرده‌گون
داخل یک دایره	دایره	هر	درون‌چرخه‌زاد
داخل یک دایره	دایره	نقطه روی دایره	درون‌چرخ‌زاد
داخل یک دایره	دایره با یک سوم شعاع	نقطه روی دایره	دلتاگون
داخل یک دایره	دایره با یک چهارم شعاع	نقطه روی دایره	ستاره‌گون
سهمی	سهمی مساوی پارامتری شده در جهت مخالف	رأس سهمی	Cissoid of Diocles
زنجیره‌وار	خط	به مثال بالا مراجعه کنید	خط

جستارهای وابسته

• غلتش
• چرخ‌دنده
• مکان هندسی
• اصل برهم‌نهی

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Roulette (curve)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۹ ژوئیه ۲۰۲۴.