دیفرانسیل (ریاضیات)

برای دیگر کاربردها دیفرانسیل را ببینید.

دیفرانسیل (به انگلیسی: differential)، در ریاضیات، به تفاوت‌های بی‌نهایت‌کوچک یا به مشتق توابع اشاره دارد. این اصطلاح در شاخه‌های متفاوتی از ریاضیات مثل حسابان، هندسه دیفرانسیل، هندسه جبری، و توپولوژی جبری استفاده می‌شود.

تعریف دیفرانسیل تابع

مفهوم دیفرانسیل تابع پیش‌زمینه‌ای برای مشتق، شیب خط و انتگرال بوده و آموزش آن به منظور یادگیری مفاهیم حسابان ضروری است.

به بیان ساده، دیفرانسیل یک تابع، تغییر جزئی (بسیار کوچک) عرض (مختص $y$) خط مماس بر نمودار تابع است وقتی متغیر مستقل تابع، تغییر می‌کند.

دیفرانسیل یعنی تغیرات آنی خطوط مماس بر منحنی، نسبت به متغیر مستقل.

اگر $y=t(x)$ نمودار خط مماس بر منحنی در نقطه $a$ باشد، دیفرانسیل تابع تک‌متغیرهٔ $f$ در نقطه ی $a$ به‌صورت‌ زیر به‌دست می‌آید؛

$df(a)=t(a+\Delta x)-f(a)$

از آن جایی که:

$t(a+\Delta x)=f(a)+f'(a)\Delta x$

داریم:

$df(a)=f'(a)\Delta x=f'(a)dx$

بنابراین دیفرانسیل تابع $f$ در هر نقطه ی $x$ برابر است با:

$df(x)=f'(x)dx$

که $f^{\prime }(x)$، مشتق تابع در نقطه ی $x$ است، و $\mathrm {d} x$ دیفرانسیل $x$ (تغییر بسیار کوچک متغیر مستقل تابع) است.

جستارهای وابسته

• حساب دیفرانسیل و انتگرال
• حد
• مشتق
• انتگرال