سهمی

(تغییرمسیر از شلجمی)

در ریاضیات سَهمی (به انگلیسی: Parabola) مکان هندسی نقاطی از صفحه است که از یک خط و از یک نقطه هم فاصله هستند. این منحنی که شَلجَمی یا شَلغَمی[۱] هم نامیده می‌شود یکی از مقاطع مخروطی می‌باشد، زیرا از تقاطع یک صفحه و یک مخروط می‌تواند به وجود بیاید.[۲] سهمی و هذلولی دو مقطع مخروطی باز هستند و بیضی و دایره دو مقطع مخروطی بسته.

یک سهمی
از سلسله مقالاتی دربارهٔ
مقاطع مخروطی
Krzywe stożkowe fa.svg
سهمی
معادله
برون‌مرکزی ()
نیم‌راست‌وتر کانونی ()
Parabola (PSF).png Parabola.svg
هذلولی
معادله
برون‌مرکزی ()
نیم‌راست‌وتر کانونی ()
Hyperbola (PSF).svg Hyperbola2.svg
بیضی
معادله
برون‌مرکزی ()
نیم‌راست‌وتر کانونی ()
Ellipse-conic.svg CoA dames 220x300.svg
دایره (حالت خاص بیضی)
معادله
برون‌مرکزی ()
نیم‌راست‌وتر کانونی ()
Konusni presek - Krug.png Disk 1.svg
• • •
یک سهمی از تقاطع یک صفحه و یک مخروط به دست می‌آید.

تاریخچهویرایش

یونان باستانویرایش

بنابر تقریظی از اراتوستن، سهمی را نخستین‌بار منایخموس (۳۸۰ – ۳۲۰ پ. م)، دوست نزدیک افلاطون، در تلاش برای حل تضعیف مکعب (ساختن مکعبی که حجم آن دو برابر حجم یک مکعب مفروض است فقط با استفاده از خط‌کش و پرگار) کشف کرد. آپولونیوس برای اولین بار نام «پارابول» (یونانی: παραβολή‎، به معنای «کاربرد»)[الف] را بر روی سهمی گذاشت[۳] و اقلیدس (حدود ۳۶۵–۲۷۵ پ. م) بررسی دقیقی از ویژگی‌های سهمی ارائه کرد.[۴]پاپوس اسکندرانی (حدود ۳۵۰ – ۲۹۰ پ. م) مفهوم خط‌های هادی را برای نخستین بار بررسی کرد و نشان داد که هر منحنی نسبت ثابتی (که بعدها به برون‌مرکزی معروف شد) دارد و این نسبت ثابت برای همهٔ سهمی‌ها برابر ۱ است.[۵]

نام آپولونیوس (اواخر قرن سوم – اوایل قرن دوم پیش از میلاد) برای قرن‌ها پس از مرگ او با مطالعهٔ مقاطع مخروطی گره خورده بود. آپولونیوس اثر مهمش «مخروطات» را، که مشتمل بر هشت مقاله است،[۶] با مطالعهٔ مخروط آغاز می‌کند و پس از تعریف سه مقطع مخروطی (سهمی، هذلولی، و بیضی)، به تعریف خط مماس آن‌ها می‌پردازد و سپس ثابت می‌کند که فاصلهٔ کانونی برای همهٔ نقاط روی یک بیضی ثابت است.[۷]

قرون وسطیویرایش

همزمان با حکومت مأمون در خراسان (در قرن سوم هجری)، اخوان ثلاثهٔ بنوموسی دست به ترجمهٔ مخروطات آپولونیوس از یونانی به عربی زدند. بنوموسی فقط نسخه‌ای ناقص از مخروطات را در اختیار داشتند و مقاطع مخروطی در زمان ایشان به دست فراموشی سپرده شده بود، بنابراین در فهم متن دچار مشکل بودند. اندکی بعد، یکی از اخوان ثلاثه به نام حسن نظریهٔ مقاطع استوانه‌ای را ابداع کرد که می‌توان آن را مقدمه‌ای ساده بر مقاطع مخروطی دانست. پس از درگذشت حسن، برادرش احمد در شام نسخه‌ای کامل‌تر از چهار فصل اول مخروطات را با شرح اوتوکیوس پیدا کرد و به کمک برادر دیگرش، محمد، و با استفاده از دو نسخهٔ موجود و نظریهٔ حسن، موفق شد نظریات آپولونیوس را دریابد. احمد و محمد ترجمهٔ مقالهٔ اول تا چهارم مخروطات را به هلال حمصی و مقالهٔ پنجم تا هفتم آن را به ثابت بن قره سپردند و خود بازنگری نهایی ترجمه را عهده‌دار شدند. ترجمهٔ برادران بنوموسی از مقالات پنجم تا هفتم مخروطات تنها نسخهٔ باقی ماندهٔ این اثر است.[۶] ترجمهٔ آثار علمی به عربی اغلب نیازمند ابداع اصطلاحات فنی تازه بود و مترجمان آن‌ها، بر خلاف مترجمان لاتین، به ترانویسی عبارات یونانی اکتفا نکردند[ب] و برای واژهٔ «پارابولی» اصطلاح «مکافی» را در نظر گرفتند که معنای آن را حفظ می‌کند[پ] و هنوز در زبان عربی به بیضی «قطع ناقص» گفته می‌شود.[۶]

رنسانس و قرون جدیدویرایش

اسحاق نیوتن در کتاب «اصول ریاضی فلسفه طبیعی»[۸] نشان داد که اگر نیروی کشش میان اجسام آسمانی متناسب با معکوس مجذور فاصله بین آن دو باشد، اجرامی که به دور یک جرم بزرگ می‌گرداند، یا باید حرکت دایره‌ای، بیضوی، سهموی یا هذلولوی داشته باشند. نیوتن از سهمی برای محاسبه مدار شهاب سنگ‌ها استفاده کرد.[۹] امروزه می‌دانیم که اگر چه سهمی مدل خوبی برای حرکت شهاب سنگ‌ها می‌باشد ولی این مدل از دقت بالایی برخوردار نیست و به ندرت مدار شهاب سنگ‌ها با دقت بسیار بالایی سهموی می‌باشند.[۱۰]

گالیله نشان داد که وقتی جسمی را در هوا پرتاب می‌کنیم، مسیر حرکت آن سهموی می‌باشد.[۱۱] این موضوع زمانی صحت دارد که از مقاومت هوا و آثار چرخشی چشم پوشی شود.[۲]

نیوتون و گرگوری نشان دادند که هنگامی که نور به صورت موازی به یک آینه سهموی تابانده شود، پس از انعکاس در کانون آن جمع می‌شود.[۱۱]

پاسکال سهمی را تصویر یک دایره در نظر گرفت.[۱۱]

رنه دکارت خود مقاطع مخروطی آپولونیوس، به‌ویژه بیضی و سهمی، را در آثارش در باب هندسه تحلیلی بررسی کرده بود.[۱۲]

پس از نیوتنویرایش

کاربردویرایش

اقتصادی‌ترین شکل پل کمانی در اغلب شرایط عملی سهمی می‌باشد.[۱۳]

تعریف سهمیویرایش

سهمی به عنوان مقطع مخروطیویرایش

سهمی خمی باز است که از برخورد مخروطی قائم با قاعدهٔ دایره‌ای و صفحه‌ای حاصل می‌شود که با یکی از وترهای مخروط موازی باشد ولی با ارتفاع مخروط موازی نباشد.[۱۴] اگر این صفحه با قاعدهٔ مخروط موازی باشد حاصل دایره، اگر با ارتفاع مخروط موازی باشد حاصل هذلولی، و اگر با هیچ‌یک از وترهای مخروط یا ارتفاع آن موازی نباشد حاصل بیضی خواهد بود.[۱۵]

تعریف سهمی به صورت مکان هندسی نقاطویرایش

در صفحهٔ اقلیدسی سهمی را می‌توان به صورت مجموعه ای از نقاط (مکان هندسی) تعریف کرد.

سهمی مکان هندسی نقاطی است که فاصلهٔ آن‌ها از نقطه ای ثابت به نام کانون با فاصلهٔ آن از خط ثابتی به نام خط هادیبرابر باشد.

 

معادلهویرایش

معادله ساده سهمی:  می‌باشد. شکل کلی معادله سهمی در دستگاه مختصات دکارتی، به شکل زیر است:

 

که ضرایب   تا   همگی ثابت و حقیقی بوده،   یا   غیر صفر هستند، و همچنین  .

مختصات قطبیویرایش

 
مقاطع مخروطی با کانون مشترک

اگر p > 0 سهمی ای با معادلهٔ دکارتی   (سهمی به سمت راست باز می‌شود) دارای معادلهٔ قطبی زیر است:

 
( ).

محور سهمی   و کانون آن   است.

اگر مبدأ را به سمت کانون جابه جا کنیم یعنی   معادله ی قطبی زیر را خواهیم داشت:


 

روش انتقالویرایش

 

  • a بیانگر باز و بسته شدن دهانه تابع است.
  • h بیانگر جابجا شدن نمودار در جهت افقی. (برخلاف علامت h حرکت می‌کند)
  • k بیانگر جابجا شدن نمودار در جهت عمودی. (برجهت علامت k حرکت می‌کند)

در معادله بالا h باعث انتقال افقی و k باعث انتقال عمودی می‌شود. کافیست نمودار   رسم کرده و با توجه به علامت h و k آن را منتقل می‌کنیم.

 
انتقال سهمی

خاصیت بازتاب نورویرایش

 
نورهایی که موازی با خط قرینه سهمی وارد سهمی می‌شوند، به کانون بازتاب می‌کنند.

خاصیت بازتاب سهمی بیان می‌دارد که اگر یک سهمی آیینه ای باشد و بتواند نور را بازتاب کند، آنگاه نورهایی که موازی با خط تقارن سهمی به آن وارد می‌شوند، به سمت کانون آن بازتاب می‌کنند.

اثباتویرایش

در شکل مقابل F نقطه کانون سهمی، P نقطه ای دلخواه روی سهمی، PT عمودی بر خط هادی سهمی و MP نیم ساز زاویه FPT∠ است. Q نقطه ای دیگر روی سهمی است و QU نیز عمود بر خط هادی است. ما می‌دانیم FP = PT و FQ = QU. به وضوح، QT > QU, پس QT > FQ. اما از طرفی تمام نقاط روی MP از F و T به یک فاصله هستند. یعنی هیچ نقطه ای روی سهمی نیست که روی MP باشد؛ که یعنی خط مماس به سهمی که از نقطه T می‌گذرد، نیمساز FP و PT است. با توجه به این که زاویه تابش نور از خط مماس به منحنی با زاویه بازتاب برابر است، می‌توان دریافت که پرتو بازتاب در راستای همان خطی است که به F می‌رود.

ویژگی‌هاویرایش

  • معادلهٔ سهمی در یک سیستم مختصات تخصیص‌یافته عبارت است از  . رأس این سهمی در   قرار دارد و محور  ها محور تقارن آن است.[۱۶]
  • نقطه تمرکز   سهمی بر روی محور تقارن قرار دارد و گسترنده ‏(en)ٔ سهمی (منحنی مکان هندسی مرکز انحناهای آن) تنها یک نوک تیز دارد.[۱۷]
  • خط تمرکز معادل   است که عمود بر محور  ها است و فاصله‌اش از نقطهٔ تمرکز ( ) برابر   است.[۱۸]
  • برای هر نقطهٔ   روی سهمی، فاصلهٔ   از نقطهٔ تمرکز   فاصلهٔ آن از خط تمرکز   است.[۱۹]
  • همهٔ سهمی‌ها با هم متشابه‌اند.[۲۰]
  • سهمی‌هایی با   برابر با یکدیگر همنهشتند.[۲۱]
  • فرمول پارامتریک سهمی: نمونهٔ آن می‌تواند   باشد.[۲۲]

رسم سهمیویرایش

معادله درجه دو   را در نظر می‌گیریم. برای رسم سهمی کافیست که راسش را پیدا کنیم.

فرمول راس سهمی برابر است با:

 

حال ما راس را داریم و دو نقطه دیگری را با جایگذاری در فرمول پیدا کرده و نمودار را رسم می‌کنیم.

نکته: اگر در معادله درجه دو a مثبت باشد دهانه سهمی رو به بالا و اگر منفی باشد دهانه سهمی رو به پایین است.

 
تعیین علامت a

نگارخانهویرایش

یادداشتویرایش

  1. بر خلاف نامی که آپولونیوس بر بیضی (الیپسیس، به معنای کمتر بودن) و هذلولی (هایپربول، به معنای بیشتر بودن) گذاشت و به کمتر یا بیشتر بودن برون‌مرکزی این منحنی‌ها از عدد ۱ اشاره دارد، دلیل انتخاب پارابول برای سهمی واضح نیست.
  2. شاید به این دلیل که اصطلاحات بیگانه به‌سادگی در ساختار زبان عربی پذیرفته نمی‌شود.
  3. در معادلهٔ آپولونیوس برای بیضی   مقدار   کاسته می‌شود و «ناقص» در «قطع ناقص» به همین امر اشاره دارد. معادلهٔ آپولونیوس برای هذلولی مشابه معادلهٔ بیضی است با این تفاوت که مقدار   به مقدار   اضافه می‌شود، ازین‌رو مترجمان عربی آن، هذلولی را «قطع زائد» نامیدند. معادلهٔ آپولونیوس برای سهمی هم   است و چون در آن بخش ناقص و زائدی نیست مترجمان عربی برای آن معادل «مُکافی» (به معنی هم‌کفو و برابر) را برگزیدند.[۶]

پانویسویرایش

آموزش رسم سهمی «سیده فاطمه موسوی نطنزی»

منابعویرایش

پانویسویرایش

  1. "معنی شلغمی | لغت‌نامه دهخدا" شکلی مانند شلغم، سهمی، عربی آن را شلجم خوانند. http://www.vajehyab.com/dehkhoda/%D8%B4%D9%84%D8%BA%D9%85%DB%8C
  2. ۲٫۰ ۲٫۱ Encyclopædia Britannica, parabola (mathematics)
  3. Coolidge 1945‏:‎4
  4. Wolfram MathWorld 2002
  5. Coolidge 1945‏:‎10
  6. ۶٫۰ ۶٫۱ ۶٫۲ ۶٫۳ هوخندایک و امینی ۱۳۹۲‏:‎۸۶–۹۸
  7. Coolidge 1945‏:‎14-25
  8. Principia
  9. Encyclopædia Britannica, comet (astronomy): The impact of Newton’s work
  10. Roger R. Bate, Donald D. Mueller, Jerry E. White, Fundamentals of astrodynamics, Dover Publications, 1971, p. 24
  11. ۱۱٫۰ ۱۱٫۱ ۱۱٫۲ Weisstein, Eric W. «Parabola" From MathWorld--A Wolfram Web Resource
  12. Mazer 2011‏:‎39
  13. John Thomas Rule, Steven A. Coons, "Graphics", McGraw-Hill (New York), 1961, p. 137
  14. Encyclopedia Britannica
  15. University of Denver 2002
  16. Pottmann et al. 2007‏:‎235
  17. Pottmann et al. 2007‏:‎235
  18. Pottmann et al. 2007‏:‎235
  19. Pottmann et al. 2007‏:‎235
  20. Pottmann et al. 2007‏:‎235
  21. Pottmann et al. 2007‏:‎235
  22. Pottmann et al. 2007‏:‎235

فهرست منابعویرایش

  • Pottmann, Helmut; Asperl, Andreas; Hofer, Michael; Kilian, Axel; Bentley, Daril (2007). Architectural geometry. Bentley Institute Press. ISBN 1-934493-04-X. OCLC 180177477.