انتگرال سری فوریه

انتگرال سری فوریه، نوعی انتگرال است که موارد سری فوریه پیچیده را بااستفاده از انتگرال به‌دست می‌آید.انتگرال سری فوریه مواردهای نامتناهی پیچیده که به صورت تابعی وبه صورت مثلثاتی است را با آنالیز،انتگرال جز به جز و به صورت محاسبه الگوی متناهی و نامتناهی، محاسبه می‌کند. این انتگرال پیشرفته تر از انتگرال فوریه است، در اینجا عدد پی به صورت رادیان محاسبه می‌گردد البته انتگرال سری فوریه به صورت آنالیز فوریه نیز عمل می‌کند. این موضوع را می‌توان گفت که ادامه مبحث بزرگ سری فوریه است که با نام انتگرال‌گیری سری فوریه، سری فوریه و انتگرال نیز هم گفته می‌شود.

مثال

نمونه مثال

سری فوریه تابعی(f(xبرابرباx²است که در آنxکوچکتر از۲π و بزرگتر از۰ است را محاسبه کنید و حاصل عبارت $\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{2}}}$ را به‌دست آورید

حل

ابتدا تابعی را می‌کشیم که به صورت تابعx^2است بعد مسافت طول تابع را عدد۲πمی‌گوییم و ارتفاع آن با محاسبه به۴π²می‌رسیم.

در اینجا به روش دیریکله می‌رویم.

دوره تناوب=۲π

چون دروه تناوب برابربا۲πاست پس نصع دوره تناوب که عددLاست برابر باπاست پس(L=π)است

حالا ما به روش انتگرال دوره تناوب را به‌دست می‌آوریم.${\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}={\frac {1}{\pi }}(0+{\frac {8\pi ^{3}}{3}})={\frac {8\pi ^{2}}{3}}$دوره تناوب که به‌دست آمد سری فوریه با انتگرال به صورت جز به جز می‌نویسیم. ابتدا از کسینوس شروع می‌کنیم

${\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }x^{2}cos(nx)dx$

بعد اینگونه می‌نویسیم. چون در اینجا مسئله ازnحرف زده‌استnرا به صورت کسری درxضرب می‌کنیم تا سری فوریه برقرار باشد. ابتدا انتگرال‌گیری جز به جز را محاسبه و بعد رابطه نویسی می‌کنیم.${\displaystyle 0,2\pi [{\frac {x^{2}}{n}}sin(nx)-{\frac {2x}{n^{2}}}cos(nx)+{\frac {2}{n^{3}}}sin(nx)dx]=[0+{\frac {4\pi }{n}}-0-(0+0-0)]={\frac {4}{n}}}$بعد به انتگرال جز به جز سینوس می‌رسیم.

${\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }x^{2}sin(nx)dx$

ابتدا انتگرال‌گیری جز به جز را محاسبه و بعد رابطه نویسی می‌کنیم.$0,2\pi [-{\frac {x^{2}}{n}}cos(nx)-{\frac {2x}{n^{2}}}sin(nx)+{\frac {2}{n^{3}}}cos(nx)dx]={\frac {1}{\pi }}[-{\frac {4\pi ^{2}}{n}}-0+{\frac {2}{n^{3}}}-0-0+{\frac {2}{n^{3}}}]=-{\frac {4\pi }{n}}$دراینجا کار تمام می‌شود و رابطه نویسی کامل می‌کنیم. در اینجا دوره تناوب در تابع نصف می گرد تا حد تناهی باهم منطبق گردد$f(x)={\frac {4\pi ^{2}}{3}}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {4}{n^{2}}}cos(nx)-{\frac {4\pi }{n}}sin(nx)$برای محاسبه اگرx=۰٬۲π جواب باهم برابر است که اینگونه می گرد

$f(x)={\frac {4\pi ^{2}}{3}}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {4}{n^{2}}}=2\pi ^{2}$

$\sum _{n=1}^{N}{\frac {4}{n^{2}}}$براساس معادله به‌دست می‌آید

$\sum _{n=1}^{N}{\frac {4}{n^{2}}}=2\pi ^{2}-{\frac {4\pi ^{2}}{3}}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}$

این طرفین با تقسیم بر چهار مقدار به‌دست می‌آید که برابر است با:

$\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

منابع

انگلیسی

math.stackexchange.com https://math.stackexchange.com › ... Integration and differentiation of Fourier series