معادله دیفرانسیل

یکی از انواع معادلات ریاضی که شامل مشتقات یک تابع مجهول باشد
(تغییرمسیر از معادلات دیفرانسیل)

در ریاضیات، معادله دیفرانسیل نوعی معادلهٔ ریاضی است که دارای یک (یا چند) تابع مجهول از یک یا چند متغیّر مستقل و مشتقهای آن توابع (با مرتبه‌های مختلف) است.

این معادلات در مدل‌سازی ریاضیاتی بسیاری از پدیده‌های طبیعی کاربرد دارند. بسیاری از قوانین عمومی طبیعت (در فیزیک، شیمی، زیست‌شناسی و ستاره‌شناسی) طبیعی‌ترین بیان ریاضی خود را در زبان معادلات دیفرانسیل می‌یابند. از جمله کاربردهای آن می‌توان به مدارهای الکتریکی، سرعت حدّی،[۱] غلظت مواد شیمیایی و رشد جمعیّت[۲] اشاره کرد. معادلات دیفرانسیل همچنین در هندسه و نیز در مهندسی و بسیاری از حوزه‌های دیگر کاربردهای فراوانی دارند.

هر زمان که نرخ تغییرات یک (یا چند) تابع رابطه‌ای با خود یا متغیّرهای خود داشته باشد، آن پدیده با معادلهٔ دیفرانسیل مدل‌سازی می‌شود.

به عنوان مثال در مکانیک، حرکت جسم به وسیله سرعت و مکان آن در زمان‌های مختلف توصیف می‌شود و معادلات نیوتن به ما رابطهٔ بین مکان و سرعت و شتاب و نیروهای گوناگون وارده بر جسم را می‌دهند. در چنین شرایطی می‌توانیم حرکت جسم را در قالب یک معادلهٔ دیفرانسیلی که در آن مکان ناشناختهٔ جسم تابعی از زمان است بیان کنیم.

شاخه‌بندی

روش‌های حل معادلات دیفرانسیل بسیار مرتبط با نوع معادله هستند. معادلات دیفرانسیل را به‌طور کلی به دو دسته می‌توان تقسیم کرد.

معادلات دیفرانسیل معمولی: در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای تنها یک متغیر مستقل است.

معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای: در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای چندین متغیر مستقل می‌باشد.

هر دو نوع این معادلات را می‌توان از دیدگاه خطی یا غیر خطی بودن تابع پاسخ هم دسته‌بندی کرد. همچنین مرتبه معادلات دیفرانسیل معمولی و مشتقات پاره ای را می‌توان به صورت کسری در نظر گرفت که به معادلات دیفرانسیل کسری مشهورند. این نوع از معادلات دیفرانسیل نیز روش‌های حل گوناگونی دارند که می‌توان به روش تجزیه آدومیان، هوموتوپی و تکرار تغییرات اشاره نمود.

 
مجسم‌سازی جریان هوا به داخل لوله که با معادلات ناویه-استوکس، مدل‌سازی شده‌است، مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

نوع عادی یا جزئی

معادله شامل متغیر مستقل x، تابع (y=f(x و مشتقات f را یک معادله دیفرانسیل عادی می‌نامند. معادله‌ای پدید آمده از یک تابع مجهول با بیش از یک متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن را معادله دیفرانسیل جزئی می‌نامند.

مرتبه: عبارت است از مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.

درجه: پس از حذف مخرج کسرها و رادیکال‌های مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش، بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، درجه معادله است.

اگر درجهٔ مجهول و مشتقاتش یک باشند، آن را خطّی و در غیر این صورت غیرخطّی می‌نامیم.[۱]

معمولاً یک معادله دیفرانسیل مرتبه n پاسخی شامل n ثابت دلخواه دارد. این پاسخ را پاسخ عمومی می‌نامند.

ساختار معادلات دیفرانسیل، متفاوت است و هر ساختار، ویژگی‌های متفاوتی دارد:

  • معادلات مرتبه اول از درجه اول با متغیرهای جدایی‌پذیر؛
  • همگن؛
  • خطی برنولی با دیفرانسیل‌های کامل؛
  • معادلات مرتبه دوم؛
  • معادلات خطی با ضرایب ثابت
  1. همگن
  2. ناهمگن

روش‌های تقریب‌زدن

  1. سری‌های توانی
  2. روش‌های عددی

صورت‌های معادلات دیفرانسیل

معادله دیفرانسیل مرتبه اول از درجه اول را همواره می‌توان به صورت زیر درآورد که در آن M و N معرف توابعی از x و y هستند.

Mdx + Ndy = ۰

در معادله بالا هرگاه M فقط تابعی از x و N فقط تابعی از y باشد. به صورت معادله جدایی پذیر مرتبه اول است. در این صورت با انتگرال‌گیری از هر جمله پاسخ بدست می‌آید؛ یعنی:

M(x) dx+ ∫N(y) dy = C∫

مرتبه اول

معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل (به انگلیسی: First-Order Differential Equations) گروهی از معادلات دیفرانسیل هستند که تنها شامل مشتق مرتبهٔ اوّل تابع مجهول هستند (و البتّه خود آن تابع).

تعریف

اگر   تابعی مجهول از متغیّر   باشد، یک معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت زیر نمایش داد (که در آن   می‌تواند هر تابع پیوسته‌ای باشد):[۱]

 

به عنوان مثال   یک معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل است ( ) و حل آن ما را به   می‌رساند.

یکی از فرم‌های دیگر این معادلات به شکل زیر است:

 

قضیه وجود و یکتایی

قضیهٔ پیکارد-لیندوف (به انگلیسی: Picard–Lindelöf theorem): این معادلات در بازهٔ وجودی‌شان دقیقاً یک جواب دارند. اگر   پیوسته باشد، بازهٔ وجودی برابر   است.[۲]

در غیر این صورت، پیدا کردن بازه‌ای که جواب در آن وجود دارد می‌تواند سخت باشد. بازهٔ وجودی جواب شاید هیچ ارتباطی با بازهٔ پیوستگی   نداشته باشد.[۲]

اگر توابع   و   در یک مربّع فرضی (مثل  ) پیوسته باشند،

بازه‌ای از   (مثل  ) وجود دارد که معادلهٔ   (با مقادیر اوّلیّهٔ دلخواه) در آن جواب دارد.[۲]

توجّه کنید که شروط ذکر شده ضروری نیستند؛ یعنی شاید بتوان به روشی دیگر و بدون کمک گرفتن از این قضیه، بازهٔ وجودی پیدا کرد.

مرتبه اول خطی

در صورتی که درجهٔ   و   یک باشد به آن خطّی گوییم.

در مدارهای RL، به کمک قانون اهم به معادلاتی مشابه   می‌رسیم (  و   و   ثابت و   تابعی از  ) و برای پیدا کردن   باید از معادلات دیفرانسیل مرتبه اوّل خطّی کمک بگیریم.[۱]

مرتبه اول تفکیک‌پذیر

معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل تفکیک‌پذیر (به انگلیسی: separable first-order differential equations) معادلاتی هستند که بتوان آن‌ها را به فرم دیفرانسیلی زیر نمایش داد (  و   دلخواه):[۲]

 

برای حل این معادله، آن را به فرم زیر می‌نویسیم:

 

با فرض این که   و   پادمشتق   و   باشند:

 

طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای:

 

در نتیجه تساوی بالا را می‌توان به صورت زیر نوشت:

 

در نتیجه، با انتگرال‌گیری نسبت به   داریم:

 

به عبارتی دیگر، جواب به صورت زیر به دست می‌آید:[۲]

 

مرتبه اول همگن

توجّه کنید که این معادلات هیچ ارتباطی با معادلات مرتبه دوم همگن ندارند.[۲]

اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل را به فرم   بنویسیم، در صورتی که توابع   و   هر دو توابع همگن با درجه (مرتبه) یکسان باشند، آن معادله همگن است (به انگلیسی: Homogeneous first-order differential equation).[۳]

به عبارتی دیگر   و  .

توجّه کنید که مرتبهٔ همگنی توابع ( ) با مرتبهٔ معادله (یک) اشتباه نشود.

حال درصورتی که  :

 

به عبارتی دیگر   را می‌توان به صورت تابعی از تنها کسر   بیان کرد (  یک تابع همگن درجه صفر است). این معادلات را می‌توان با تغییر متغیّر   به معادلات تفکیک‌پذیر تبدیل کرد.[۲]

به عنوان مثال، معادلهٔ   را می‌توان به صورت   نمایش داد (پس همگن است). با فرض  ، می‌توان معادله را به صورت   تفکیک کرد. ادامهٔ حل، به روش حل معادلات تفکیک‌پذیر است.

مرتبه اول خودگردان

در صورتی که نرخ رشد یک تابع ( ) تنها به مقدار تابع وابسته باشد، خودگردان (به انگلیسی: autonomous differential equations) نامیده می‌شود:  

رشد نمایی

معادلهٔ رشد نمایی ساده‌ترین نوع معادلات خودگردان است و برای مدل‌سازی رشد بعضی گونه‌ها (مثل میکروب‌ها) استفاده می‌شود.

این معادلات را می‌توان به فرم   نوشت (  یک عدد و   تابعی از   است) و جواب آن برابر   است.[۲]

رشد لجستیک

معادلهٔ لُجِستیک یا معادلهٔ ورهولست (به انگلیسی: Verhulst equation or Logistic equation) از انواع معادلات خودگردان است که اوّلین بار توسّط یک ریاضی‌دان بلژیکی (به فرانسوی: Pierre François Verhulst) برای مدل‌سازی رشد جمعیّت انسان‌ها معرّفی شد. این معادله تعمیم رشد نمایی ست.

این معادلات را می‌توان به فرم   یا به شکل معمول‌ترِ   نوشت ( ). به ثابت   نرخ رشد ذاتی (به انگلیسی: intrinsic growth rate) گفته می‌شود، زیرا در ابتدا ( ) که   است،   می‌شود.[۲]

معادله دیفرانسیل همگن

گاه معادله دیفرانسیلی را که متغیرهایش جدایی پذیر نیستند با تعویض متغیر می‌توان به معادله‌ای تبدیل کرد که متغیرهایش جدایی پذیر باشند، چنین معادله‌ای را همگن می‌نامند. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را همیشه می‌توان به صورت متعارف زیر درآورد که در آن P و Q توابعی از x هستند.

dy/dx + py = Q

معادله را که بتوان آن را به صورت

M (x,y) dx + N (x,y) dy = ۰

نوشت و دارای ویژگی زیر باشد کامل نامیده می‌شود؛ زیرا طرف چپ آن یک دیفرانسیل کامل است.

M/∂y = ∂N/∂x∂

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم در حالت کلی به صورت زیر است:

F (x,y,dy/dx,d2y/dx2) = ۰

این گونه معادلات را معمولاً با یک متغیر مناسب مانند dy/dx = p به معادلات دیفرانسیل نوع اول تبدیل کرد و با جاگذاری در معادله مربوط به روش معادلات دیفرانسیل مرتبه اول حل کرد

معادله دیفرانسیل خطی

معادله دیفرانسیل را که در آن توابع بر بازه I پیوسته بوده و (an(x هرگز صفر نباشد یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه nام می‌نامند که البته اگر در تعریف بالا (F(x مساوی صفر باشد معادله دیفرانسیل D برای مشتق توابع معرفی می‌شود. سپس با نوشتن معادله کمکی p(r)=۰ و پیدا کردن صفرهای معادله (p(r پاسخ معادله همگن را پیدا می‌کنیم. در صورت ناهمگن بودن، علاوه بر عملیات بالا، پاسخ‌های معادله ناهمگن را با شیوه‌های خاصی پیدا کرده و به پاسخ بالا می‌افزایند.

حل معادلات دیفرانسیلی خطی مرتبه nام توسط سری‌های توانی معادله دیفرانسیل را در نظر می‌گیریم که در آن x۰ نقطه منفرد معادلات در این صورت با تغییر متغیر زیر به حل معادله می‌پردازیم:

همین‌طور با جاگذاری سری مربوط به (y=f(x و تجریه مناسب و مساوی قرار دادن دو طرف عبارت به حل معادله می‌پردازیم. کاربردها کاربردهای معادلات دیفرانسیل توصیف‌کننده حرکت سیارات، که از قانون دوم نیوتن به دست می‌آیند، هم شامل شتاب و هم شامل سرعت می‌شوند. در مورد حرکت موشک‌ها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده‌تر هستند. مسائل فیزیکی زیادی پس از فرمول‌بندی آنها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر می‌شوند. در رشته سینتیک شیمیایی، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند همین‌طور در مواردی چون سود مرکب، واپاشی رادیواکتیو، قانون سرمایش نیوتن و رشد جمعیت کاربرد فراوانی دارد.

روش‌های حل معادلات

به‌طور کل معادلات دیفرانسیل به سه روش تحلیلی، نیمه تحلیلی و عددی حل می‌شوند. برخی از معادلات دارای پاسخ دقیق و فرم تابعی هستند این گونه معادلات را می‌توان از روش‌های تحلیلی حل نمود و به پاسخ دقیق رسید. معادلات دیگر که دارای فرم تابع مشخص نیستند را بایستی توسط روش‌های نیمه تحلیلی یا عددی حل کرد. از روش‌های نیمه‌تحلیلی می‌توان به روش تجزیه آدومیان، آنالیز هموتوپی، تبدیل دیفرانسیل و… اشاره کرد. روش‌های عددی دامنه وسیع تری را برای حل معادلات به کار می‌گیرد. از روش‌های عددی می‌توان به روش اویلر، روش هون، روش تیلور، روش رانگ-کوتا، آدامز-بشفورث-مولتون، روش میلن سیمپسون، روش هامینگ، روش رانگ-کوتا فلبرگ مرتبه ۵، روش رحمانزاده کای وایت، روش‌های طیفی و شبه طیفی، روش‌های شبکه‌ای همانند اجزای محدود و تفاضل محدود و روش‌های بدون شبکه اشاره کرد.

معادلات دیفرانسیل مشهور

جستارهای وابسته

مدل‌سازی ریاضیاتی

منابع

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ ۱٫۲ ۱٫۳ «۹». Thomas' Calculus (14th Edition).
  2. ۲٫۰ ۲٫۱ ۲٫۲ ۲٫۳ ۲٫۴ ۲٫۵ ۲٫۶ ۲٫۷ ۲٫۸ ۲٫۹ «۲». Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition). به کوشش William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade.
  3. Dennis G. Zill (15 March 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

مطالعهٔ بیشتر

پیوند به بیرون