معادله دیفرانسیل خطی

در ریاضیات، یک معادله دیفرانسیل خطی معادله دیفرانسیلی است که توسط یک چند جمله ای خطی در قالب توابع مجهول و مشتقات آن تعریف می‌شود، فرم این معادله به شکل زیر است:

که در آن anها توابعی دلخواه و مشتق پذیر برحسب x هستند. این توابع نیازی نیست الزاماً خطی باشند همچنین y(nها نیز مشتقات پی در پی تابع مجهول y نسبت به متغیر x هستند.

این یک معادله دیفرانسیل معمولی (ODE) است. اگر تابع مجهول به چندین متغیر بستگی داشته باشد، معادله دیفرانسیل خطی ممکن است یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی خطی (PDE) باشد، و مشتقات موجود در معادله مشتقات جزئی هستند. در این مقاله فقط معادلات دیفرانسیل معمولی مورد نظر است.

یک معادله دیفرانسیل خطی یا سیستم معادلات دیفرانسیل خطی اگر به گونه ای باشد که معادلات همگن مرتبط دارای ضرایب ثابت باشند ممکن است توسط کوادراتور (ریاضیات) حل شود، به عبارت دیگر ممکن است راه حل از طریق انتگرال بیان شود. این همچنین در مورد معادله خطی مرتبه یک، با ضرایب غیر ثابت صدق می‌کند. به‌طور کلی معادله مرتبه دو یا بالاتر با ضرایب غیر ثابت نمی‌تواند با موادراتور حل شود. برای مرتبه دو، الگوریتم کوواچیچ اجازه می‌دهد تا متوجه شویم که آیا راه حل‌هایی از طریق انتگرال‌ها وجود دارد یا نه و محاسبه آنها در صورت وجود.

حل معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب چند جمله ای، توابع هولونومیک نامیده می‌شوند. این کلاس از توابع در جمع، ضرب، مشتق، پاد مشتق پایدار هستند و شامل بسیاری از توابع معمول و توابع ویژه مانند توابع نمایی، لگاریتم، سینوس، کسینوس، توابع مثلثاتی معکوس، تابع خطا، توابع بسل و توابع هایپرژومتریک هستند. نمایش آنها با تعریف معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه امکان ساخت الگوریتمی (بر روی این توابع) برای بیشتر عملگرهای حساب از قبیل محاسبه پاد مشتق، حدها، بسط مجانبی و ارزیابی عددی با هرگونه دقت، با خطای معتبر را فراهم می‌کند.

عملگر دیفرانسیل خطیویرایش

یک عملگر اساسی دیفرانسیلی مرتبه i یک نماد است که هر تابع مشتق پذیر را با مشتق مرتبه i آن، یا در مورد چندین متغیر، به یکی از مشتقات جزئی آن از مرتبه i. مشخص می‌کند. این نماد به شکل زیر است:

 

در مورد توابع تک متغیری و به شکل زیر:

 

در مورد توابعی با n متغیر. اپراتورهای اساسی دیفرانسیل شامل مشتق مرتبه ۰ خود تابع است.

یک عملگر دیفرانسیل خطی (به‌طور خلاصه، در این مقاله، به عنوان اپراتور خطی یا به سادگی، عملگر) ترکیبی خطی از عملگرهای اساسی دیفرانسیلی است با توابع مشتق پذیر به عنوان ضرایب. در حالت تک متغیره، یک عملگر خطی فرمی بدین ترتیب را دارد[۱]

 

جایی که anها توابع مشتق پذیری هستند، و عدد صحیح غیر منفی n مرتبه عملگر است (اگرa(n تابع صفر نباشد)

معادله همگن با ضرایب ثابتویرایش

یک معادله دیفرانسیل در صورت داشتن فرم زیر یک معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب ثابت است:

 

که an ها اعداد (حقیقی یا مختلط) هستند به عبارت دیگر، اگر توسط اپراتور خطی با ضرایب ثابت تعریف شود، ضرایب مقادیر ثابتی دارد.

معادله غیر همگن با ضرایب ثابتویرایش

معادله غیر همگن از درجه n با ضرایب ثابت به شکل زیر نوشته می‌شود:

 

که an ها اعداد حقیقی یا مختلط هستند، f یک تابع داده شده از x، و y تابعی مجهول است.

معادله مرتبه اول با ضرایب متغیرویرایش

فرم کلی یک معادله خطی دیفرانسیل معمولی از مرتبه اول پس از تقسیم بر ضریب 'y:

 

در مورد معادله همگن (یعنی g(x) تابع صفر است):

 

که می‌تواند به راحتی با انتگرال به شکل زیر حل شود

 

که در آن k ثابت انتگرال است و

 

یک پاد مشتق از f است؛ بنابراین، راه حل کلی معادله همگن به صورت:

 

جایی که c یک ثابت دلخواه است.

سیستم معادلات دیفرانسیل خطیویرایش

سیستم معادلات دیفرانسیل خطی شامل چندین معادله دیفرانسیل خطی است که شامل چندین تابع مجهول است. به‌طور کلی، یک مطالعه را به سیستمهایی محدود می‌کند که تعداد توابع ناشناخته با تعداد معادلات برابر باشد.

 

مراتب بالاتر با ضرایب متغیرویرایش

غیرممکن بودن حل توسط کوادراتور را می‌توان با قضیه آبل-رافینی به دست آورد، که بیان می‌کند معادله جبری درجه ۵ حداقل، به‌طور کلی توسط رادیکال‌ها قابل حل نیست. این قیاس به روشهای اثباتی گسترش می‌یابد و انگیزه ای برای تئوری گالوی دیفرانسیل فراهم می‌کند.

مشابه مورد جبری، این تئوری تصمیم می‌گیرد که چه معادلات را می‌توان با روش quadrature حل کرد. با این حال محاسبات لازم حتی با قدرتمندترین رایانه‌ها بسیار دشوار است. در حالت کلی پیچیدگی این معادلات ممکن است سبب شود آن هارا با روش‌های غیر صریح و تقریبی مانند مش بندی حل کنیم.

معادله اویلر-کوچیویرایش

معادلات اویلر-کوچی نمونه‌هایی از معادلات از هر درجه، با ضرایب متغیر است که به روش صریح (explicit) قابل حل است. این معادلات به فرم:

 

هستند که anها ضرایب ثابت می‌باشند.

توابع هولونومیکویرایش

یک تابع هولونومیک، که تابع محدود دی نیز نامیده می‌شود تابعی است که از حل یک معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب چند جمله ای به دست می‌آید.

اکثر توابعی که معمولاً در ریاضیات مورد توجه قرار می‌گیرند هولونومیک از نسبت توابع هولونومیک به‌شمار می‌آیند. در حقیقت، توابع هولونومیک شامل چند جمله ای، توابع جبری، لگاریتم، توابع نمایی، سینوسی، کسینوسی، توابع مثاثاتی، تاوابع هذلولوی، توابع معکوس مثلثاتی تابع وارون هذلولوی و بسیاری از تابع‌های ویژه مانند توابع بسل و توابع هایپرژومتریک است.

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش

  1. Gershenfeld 1999, p.9
  • Birkhoff, Garrett & Rota, Gian-Carlo (1978), Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X Birkhoff, Garrett & Rota, Gian-Carlo (1978), Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X
  • Gershenfeld, Neil (1999), The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4 Gershenfeld, Neil (1999), The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4
  • Robinson, James C. (2004), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0 Robinson, James C. (2004), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0

پیوند به بیرونویرایش