باز کردن منو اصلی
مجموعه n-ضلعی‌های منتظم کوژ

Regular polygon 3 annotated.svgRegular polygon 4 annotated.svgRegular polygon 5 annotated.svgRegular polygon 6 annotated.svg
Regular polygon 7 annotated.svgRegular polygon 8 annotated.svgRegular polygon 9 annotated.svgRegular polygon 10 annotated.svg
Regular polygon 11 annotated.svgRegular polygon 12 annotated.svgRegular polygon 13 annotated.svgRegular polygon 14 annotated.svg
Regular polygon 15 annotated.svgRegular polygon 16 annotated.svgRegular polygon 17 annotated.svgRegular polygon 18 annotated.svg
چندضلعی‌های منتظم

ضلع و رأس n
نماد {n}
گروه تقارن Dn, order 2n
چندضلعی همزاد خود همزاد
مساحت
(با a=طول ضلع)
زاویه داخلی
مجموع زوایای داخلی
ویژگی‌ها کوژ، سیکلیک، متساوی‌الاضلاع، Isogonal، Isotoxal

در هندسه اقلیدسی، یک چندضلعی منتظم، چندضلعی است که همه زوایا و اضلاع آن هم‌اندازه‌اند.

چندضلعی‌های منتظم، می‌توانند کوژ یا به شکل ستاره باشند. در حالت حدی، یک دنباله از چندضلعی‌های منتظم با افزایش تعداد اضلاع، در صورت ثابت ماندن محیط به دایره تبدیل می‌شود و در صورت ثابت ماندن طول ضلع، به apeirogon تبدیل می‌شود.

محتویات

ویژگی‌هاویرایش

ویژگی‌های بیان‌شده در ادامه، برای همهٔ چندضلعی‌های منتظم (اعم از کوژ و ستاره‌ای) برقرار است. و این رابطه همواره ادامه دارد .

یک چندضلعی منتظم n-ضلعی، تقارن چرخشی از مرتبهٔ n دارد.

همهٔ رأس‌های یک چندضلعی منتظم بر روی یک دایره (دایره محیطی) قرار می‌گیرند. به‌عبارت دیگر، رأس‌ها نقاطی هم‌دایره هستند. یعنی یک چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی دایره‌ای هم هست.

هر چندضلعی منتظم، یک دایره محاطی دارد که به همه اضلاع در نقطهٔ وسط آنها مماس است. بنابراین هر چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی مماسی هم هست.

یک n-ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار قابل ترسیم است؛ اگر و تنها اگر فاکتورهای اول فرد n، اعداد اول فرمای متفاوتی باشند.

چندضلعی های منتظم محیطی، بیشترین مساحت را در دایره دارند. به عنوان مثال بین همه‌ی سه ضلعی های محیطی در یک دایره مثلث متساوی الاضلاع و در بین همه ی چهار ضلعی های محیطی در یک دایره مربع بیشترین مساحت را دارد.

چندضلعی‌های منتظم کوژویرایش

همهٔ چندضلعی‌های سادهٔ منتظم، کوژ هستند. چندضلعی‌های منتظم باتعداد اضلاع یکسان، متشابه هستند. یک n-ضلعی منتظم کوژ، با نماد شلفلی {n} نشان داده می‌شود.

 
مثلث
متساوی‌الاضلاع

{۳}
 
مربع
{۴}
 
پنج‌ضلعی
{۵}
 
شش‌ضلعی
{۶}
 
هفت‌ضلعی
{۷}
 
هشت‌ضلعی
{۸}
 
نه‌ضلعی
{۹}
 
ده‌ضلعی
{۱۰}
 
یازده‌ضلعی
{۱۱}
 
دوازده‌ضلعی
{۱۲}
 
سیزده‌ضلعی
{۱۳}
 
چهارده‌ضلعی
{۱۴}
 
پانزده‌ضلعی
{۱۵}
 
شانزده‌ضلعی
{۱۶}
 
هفده‌ضلعی
{۱۷}
 
هجده‌ضلعی
{۱۸}
 
نوزده‌ضلعی
{۱۹}
 
بیست‌ضلعی
{۲۰}
 
سی‌ضلعی
{۳۰}
 
چهل‌ضلعی
{۴۰}
 
پنجاه‌ضلعی
{۵۰}
 
شصت‌ضلعی
{۶۰}
 
هفتادضلعی
{۷۰}
 
هشتادضلعی
{۸۰}
 
نودضلعی
{۹۰}
 
صدضلعی
{۱۰۰}

زاویه‌هاویرایش

برای یک n-ضلعی منتظم کوژ، اندازهٔ هر زاویهٔ داخلی برابر است با:

  یا   درجه

یا   رادیان

و اندازهٔ هر زاویه خارجی آن برابر است با   درجه.

قطرهاویرایش

برای n > ۲، تعداد قطرهای n-ضلعی، برابر است با  ، به‌عنوان مثال برای مثلث، چهارضلعی، پنج‌ضلعی و شش‌ضلعی، تعداد قطرها به‌ترتیب، ۰، ۲، ۵ و ۹ است.

برای یک n-ضلعی منتظم محاط‌شده در یک دایره به شعاع واحد، حاصل‌ضرب فاصلهٔ هر رأس تا همهٔ رأس‌های دیگر، برابر است با n.

مساحتویرایش

 
پنج‌ضلعی منتظم با طول ضلع s، شعاع دایره محیطی R و شعاع دایره محاطی a

مساحت یک n-ضلعی منتظم کوژ با اندازهٔ ضلع a، شعاع دایره محیطی R، شعاع دایره محاطی r و محیط p با استفاده از روابط زیر بدست می‌آید:[۱][۲]

 

مساحت یک چندضلعی منتظم با طول ضلع ۱، شعاع دایره محیطی ۱ ، شعاع دایره محاطی ۱ در جدول زیر ارائه شده است:

در بین همهٔ n-ضلعی‌ها با محیط داده‌شده، بیشترین مساحت مربوط به n-ضلعی منتظم است.[۳]

چندضلعی‌های منتظم ستاره‌ایویرایش

 
یک ستاره پنج‌پر {5/2}

یک چندضلعی منتظم غیرکوژ، یک چندضلعی منتظم ستاره‌ای است. متداول‌ترین نمونه، ستاره پنج‌پر است که رأس‌های آن دقیقاً مشابه پنج‌ضلعی منتظم هستند، ولی هر رأس به دو رأس متفاوت با پنج‌ضلعی متصل شده است.

جستارهای وابستهویرایش

پانویسویرایش

  1. "Math Open Reference". Retrieved 4-Feb-2014. Check date values in: |accessdate= (help)
  2. "Mathwords".
  3. Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.