باز کردن منو اصلی

مختصات استانداردویرایش

در مختصات ذاتی   بر روی فضای فاز، اجراء عمل دوتایی کروشهٔ پواسون، در مورد دو تابع مفروض   و   در فضای فاز و زمان، فرم زیر را به‌خود می‌گیرد:

 

معادلات حرکت هامیلتونویرایش

معادلات ژاکوبی-هامیلتون را می‌توان بر حسب کروشهٔ پواسون به‌صورت معادل زیر هم بیان کرد. این موضوع را می‌شود به‌طور مستقیم در یک دستگاه مختصات عادی نشان داد. فرض می‌کنید   تابعی است بر روی یک خمینه. آنگاه داریم:

 

چنانچه   و   را جواب‌های معادلات هامیلتون-ژاکوبی   و   در نظر بگیریم خواهیم داشت:

 


خواص و ویژگی‌های کروشه پواسونویرایش

پاد متقارن بودن:

 

یک نتیجه سریع از این خاصیت آن است که   که برای هر تابعی برقرار است.

خطی بودن:

 

ثوابت حرکتویرایش

کروشهٔ پواسون قدرت واقعی خود را در یافتن ثابت‌های حرکت نشان می‌دهد. ثابت حرکت تابعی در فضای فاز است که به زمان وابستگی صریح ندارد، ، و مقدارش برای هر ذره ای ثابت است. به بیان دیگر   ثابت حرکت است اگر که   باشد. چون ما بیان کردیم که تابع   وابستگی صریح به زمان ندارد یعنی   است، پس این تعریف از ثابت حرکت به این معناست که:


  ثابت حرکت است اگر و تنها اگر برای تمام نقاط در فضای فاز داشته باشیم:  

چند مثال از کاربرد براکت پواسونویرایش

ثابت‌های حرکت آشنا را می‌توان اکنون با توجه به این دستور العمل ساده دوباره بدست آورد:

انرژیویرایش

دیدیم که به خاطر خاصیت پاد تقارنی براکت پواسون   . با استفاده از این ویژگی به این نتیجه می رسیم که:

 

در حالتی که هامیلتونین وابستگی صریح به زمان نداشته باشد به این نتیجه می رسیم که هامیلتونین یک ثابت حرکت است. انرژی در صورتی پایسته می‌ماند که وابستگی صریح به زمان نداشته باشد.

تکانه خطیویرایش

در حالتی که هامیلتونین شامل یک مختصه تعمیم یافته خاص،  ، نباشد، با استفاده از تعریف فوق خواهیم داشت:

 

بنابراین   ثابت حرکت است. تکانه پایسته می‌ماند اگر مختصه تعمیم یافته متناظرش   در هامیلتونین ظاهر نشده باشد.

منابعویرایش

  • Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer, New York. ISBN 978-0-387-96890-2

Goldstein H. Classical mechanics. Cambridge, MA: Addison-Wesley, 1950.

عملیات دوتایی
عددی تابعی مجموعه‌ای ساختاری
مقدماتی

+ جمع
تفریق
× ضرب
÷ تقسیم
^ توان

حسابی

div خارج قسمت اقلیدسی
mod باقیمانده اقلیدسی
بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک
کوچک‌ترین مضرب مشترک

ترکیباتی

() ضریب دوجمله‌ای
P جایگشت
C ترکیب

ترکیب
کانولوشن
جبر مجموعه‌ها

اجتماع
\ مجموعه مکمل
اشتراک
Δ تفاضل متقارن

ترتیب کلی

min کمینه
max بیشینه

توری‌ها

کرانه تحتانی
کرانه فوقانی

مجموعه‌ها

× ضرب دکارتی
اجتماع منفصل
^ توان مجموعه‌ای

گروه‌ها

حاصل‌جمع مستقیم
حاصل‌ضرب آزاد
produit en couronne

مدول‌ها

ضرب تانسوری
Hom هومومورفیزم
Tor پیچش
Ext extensions

درخت‌ها

enracinement

واریته‌های متصل

# جمع متصل

فضاهای نقطه‌دار

bouquet
smash produit
joint

بُرداری
(.) ضرب اسکالر
ضرب برداری
جبری
[,] کروشه لی
{,} کروشه پواسون
ضرب خارجی
هومولوژی
cup-produit
حاصل‌ضرب اشتراک
ترتیبی
+ الحاق
منطق بولی
عطف منطقی فصل منطقی یای انحصاری استلزام منطقی اگر و فقط اگر