بیشینه و کمینه

بیشینه (ماکسیمم) و کمینه (مینیمم) تابع در یک بازه، به بزرگترین مقدار و کوچکترین مقدار تابع در آن بازه گفته می‌شود. در اصطلاح به ماکسیمم و همین‌طور مینیمم، نقاط اکسترمم تابع گفته می‌شود. ماکسیمم و مینیمم ، هر یک به دو دسته تقسیم می شوند.

مینیمم

در ریاضیات به کوچکترین مقدار یک تابع در یک محدوده مینیمم گفته می‌شود. همچنین مینیمم ممکن است به کوچکترین عضو یک مجموعه از اعداد اطلاق شود.

مینیمم نسبی یا موضعی

به ازای تابع $f$ و عدد $c$، فرض می‌کنیم به ازای هر همسایگی از $c$ داشته باشیم $f(c)\leq f(x)$. در این صورت $f$ در $c$ مینیمم نسبی دارد.

ماکسیمم

در ریاضیات به بزرگ‌ترین مقدار یک تابع در یک محدوده ماکسیمم گفته می‌شود. همچنین ماکسیمم ممکن است به بزرگ‌ترین عضو یک مجموعه از اعداد اطلاق شود.

>c</math> ماکسیمم نسبی دارد.

قضیه اکسترمم

اگر تابع f روی فاصله [a,b] پیوسته باشد، آنگاه f روی [a,b] دارای یک مقدار ماکسیمم مطلق و یک مقدار مینیمم مطلق است.

همان‌طور که از صورت (قضیه اکسترمم) ملاحظه می‌شود شرط کافی برای وجود ماکسیمم مطلق و مینیمم مطلق، پیوسته بودن تابع در فاصله [a,b] است؛ ولی با این وجود این شرط لازم نیست، چون تابعی می‌توان نشان داد که در فاصله‌ای پیوسته نباشد، ولی دارای ماکسیمم و مینیمم مطلق باشد. به عبارت دیگر نمی توان گفت که چون تابعی در بازه‌ای ناپیوسته است، ماکسیمم و مینیمم مطلق ندارد. اما اگر تابعی در فاصله بسته‌ای پیوسته باشد، آنگاه حتماً دارای ماکسیمم و مینیمم مطلق است.

تفاوت اکسترمم مطلق و اکسترمم نسبی

مقدار تابع در اکسترمم نسبی تنها در یک همسایگی بررسی می‌شود. ولی برای پیدا کردن اکسترمم مطلق مقدار تابع در یک نقطه را با مقدار تابع در کل دامنه بررسی می‌کنیم.

تشخیص نقاط بحرانی

هرگاه مشتق تابع در یک نقطه وجود نداشته ‌باشد، و یا وجود داشته ‌باشد ولی صفر باشد، به آن نقطه از دامنهٔ تابع، نقطه بحرانی می‌گوییم.

نقاط ماکزیمم و بحرانی در نمودار

در نمودار نقاط که بالاترین عرض مثبت دارند نقاط ماکزیمم هستند. نقاطی که بالاترین ارتفاع را دارند نقاط ماکزیمم مطلق هستند، بقیه ماکزیمم نسبی هستند.

در نمودار نقاط که پایین‌ترین عرض منفی دارند نقاط مینیمم هستند. نقاطی که پایین‌ترین ارتفاع را دارند نقاط مینیمم مطلق هستند، بقیه مینیمم نسبی هستند.

نقاط ماکزیمم و بحرانی در نمودار

پانوشت

اکسترمم مطلق «سیده فاطمه موسوی نطنزی»

منابع

• سیلورمن (۱۳۸۲)، حساب دیفرانسیل و انتگرال، ص. ۲۶۵، شابک ۹۶۴-۳۱۱-۰۰۵-۲

جستارهای وابسته

• مشتق

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقیمانده اقلیدسی ∧ بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ∨ کوچک‌ترین مضرب مشترک ترکیباتی () ضریب دوجمله‌ای P جایگشت C ترکیب	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ مجموعه مکمل ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل‌ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	بُرداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل‌ضرب اشتراک	ترتیبی
		+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر