بیشینه و کمینه

بیشینه (ماکسیمم) و کمینه (مینیمم) تابع در یک بازه، به بزرگترین مقدار و کوچکترین مقدار تابع در آن بازه گفته می‌شود. در اصطلاح به ماکسیمم و همین‌طور مینیمم، نقاط اکسترمم تابع گفته می‌شود. ماکسیمم و مینیمم ، هر یک به دو دسته تقسیم

مینیمم

در ریاضیات به کوچکترین مقدار یک تابع در یک محدوده مینیمم گفته می‌شود. همچنین مینیمم ممکن است به کوچکترین عضو یک مجموعه از اعداد اطلاق شود.

مینیمم نسبی یا موضعی

به ازای تابع $f$ و عدد $c$، فرض می‌کنیم به ازای هر همسایگی از $c$ داشته باشیم $f(c)\leq f(x)$. در این صورت $f$ در $c$ مینیمم نسبی دارد.

ماکسیمم

در ریاضیات به بزرگ‌ترین مقدار یک تابع در یک محدوده ماکسیمم گفته می‌شود. همچنین ماکسیمم ممکن است به بزرگ‌ترین عضو یک مجموعه از اعداد اطلاق شود.

ماکسیمم نسبی یا موضعی

به ازای تابع $f$ و عدد $c$، فرض می‌کنیم به ازای هر همسایگی از $c$ داشته باشیم $f(c)\geq f(x)$. در این صورت $f$ در $c$ ماکسیمم نسبی دارد.

قضیه اکسترمم

اگر تابع f روی فاصله [a,b] پیوسته باشد، آنگاه f روی [a,b] دارای یک مقدار ماکسیمم مطلق و یک مقدار مینیمم مطلق است.

همان‌طور که از صورت (قضیه اکسترمم) ملاحظه می‌شود شرط کافی برای وجود ماکسیمم مطلق و مینیمم مطلق، پیوسته بودن تابع در فاصله [a,b] است؛ ولی با این وجود این شرط لازم نیست، چون تابعی می‌توان نشان داد که در فاصله‌ای پیوسته نباشد، ولی دارای ماکسیمم و مینیمم مطلق باشد. به عبارت دیگر نمی توان گفت که چون تابعی در بازه‌ای ناپیوسته است، ماکسیمم و مینیمم مطلق ندارد. اما اگر تابعی در فاصله بسته‌ای پیوسته باشد، آنگاه حتماً دارای ماکسیمم و مینیمم مطلق است.

منابع

• سیلورمن (۱۳۸۲)، حساب دیفرانسیل و انتگرال، ص. ۲۶۵، شابک ۹۶۴-۳۱۱-۰۰۵-۲

جستارهای وابسته

• مشتق

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقیمانده اقلیدسی ∧ بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ∨ کوچک‌ترین مضرب مشترک ترکیباتی () ضریب دوجمله‌ای P جایگشت C ترکیب	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ مجموعه مکمل ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل‌ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	بُرداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل‌ضرب اشتراک	ترتیبی
		+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر