چندوجهی

برخی از چندوجهی‌ها

دوازده‌وجهی (جسم افلاطونی)	دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک (چندوجهی کپلر–پوآنسو)
بیست‌دوازده‌وجهی (جسم ارشمیدسی)	Prisma stellato (Uniform polyhedron stellato)
سی لوزوجهی (جسم کاتالان)	Hebesphenomegacorona (جسم جانسون)

چندوجهی یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌هایی واقع بر خط راست دارد. به چهاروجهی هرم گفته می‌شود و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.

چندوجهی‌های ساده مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد معدودی از چندوجهی‌ها با وجوه منظم می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.

به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است.

تعاریف

یک چندوجهی

به‌طور کلی، «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخود کنند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.

بااین‌حال در ریاضیات تعریف واحدی برای چندوجهی وجود ندارد.

«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

چندوجهی‌ها در جهان واقع

چندوجهی‌های ساختگی

چندوجهی‌های خاص

هرم

نوشتار اصلی: هرم (هندسه)

با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان ابلیسک ساخت.

«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. قاعدهٔ هر کدام از اهرام مصر معمولاً مربع است و چهار وجه دیگر مثلث هستند. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود. برای ساختن یک هرم می‌توان از اکستروژن مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

با برش زدن هرم توسط صفحهٔ E موازی با صفحهٔ P «بریدهٔ هرمی» ایجاد می‌شود. پایهٔ ابلیسک نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.

منشور

نوشتار اصلی: منشور (هندسه)

با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.

منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک متوازی‌الاضلاع است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است. اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی مستطیل هستند. اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام مکعب مستطیل تشکیل می‌شود.

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.

چندوجهی منتظم

اجسام افلاطونی

نوشتار اصلی: اجسام افلاطونی

چند وجهی‌های محدب که:

1. همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
   
2. که هیچ ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
   
3. تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.
   

افلاطونی نامیده می‌شوند.

اجسام ارشمیدسی

نوشتار اصلی: اجسام ارشمیدسی

اجسام کاتالان

نوشتار اصلی: جسم کاتالان

منابع

فهرست منابع

• Pottmann, Helmut (2007). Architectural geometry. Exton, Pa: Bentley Institute Press. ISBN 978-1-934493-04-5. OCLC 180177477.

• Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes. Dover books on advanced mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-61480-9. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-25.
• Cromwell, P.R. (1999). Polyhedra. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66405-9. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-10-22.
• French, K.L. (2014). The Hidden Geometry of Life: The Science and Spirituality of Nature. Gateway series. Watkins Media Limited. ISBN 978-1-78028-845-1. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-12.
• Gardner, Martin (1987). "Chapter 1: The Five Platonic Solids". The 2nd Scientific American book of mathematical puzzles & diversions. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-28253-8. OCLC 15550017.
• Haeckel, E. (2012). Art Forms in Nature. Dover Pictorial Archive. Dover Publications. ISBN 978-0-486-15532-6. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-12.
• Henle, M. (1994). A Combinatorial Introduction to Topology. Dover Books on Mathematics Series. Dover. ISBN 978-0-486-67966-2. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-10-22.
• Kotrč, Ronald F. (1981). THE DODECAHEDRON IN PLATO'S "TIMAEUS". Rheinisches Museum für Philologie. J.D. Sauerländers Verlag. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-10-22.
• Lewars, Errol G. (2008). Modeling Marvels. Dordrecht: Springer Netherlands. doi:10.1007/978-1-4020-6973-4. ISBN 978-1-4020-6972-7.
• MacLean, K.J.M. (2007). A Geometric Analysis of the Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra. Geometric explorations series. Loving Healing Press. ISBN 978-1-932690-99-6. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-10.
• Nayudu, M.V. (2008). Plant Viruses. Tata McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-065660-4. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-12.
• Pottmann, Helmut; Asperl, Andreas; Hofer, Michael; Kilian, Axel; Bentley, Daril (2007). Architectural geometry. Bentley Institute Press. ISBN 1-934493-04-X. OCLC 180177477.
• Sala, Nicoletta (2004). Art, Mathematics and Architecture for Humanistic Renaissance: the Platonic Solids (PDF). University of Italian Switzerland, Academy of Architecture, Switzerland.
• Sarhangi, Reza (2008). "Illustrating Abu al-Wafā' Būzjānī: Flat Images, Spherical Constructions". Iranian Studies. Informa UK Limited. 41 (4): 511–523. doi:10.1080/00210860802246184. ISSN 0021-0862.
• Senechal, M. (2013). Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination. EBSCOhost ebooks online. Springer New York. ISBN 978-0-387-92714-5. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-10.
• Tanna, S. (2014). Amazing Math: Introduction to Platonic Solids. CreateSpace Independent Publishing Platform. ISBN 978-1-5030-8485-8. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-09-15.
• "Form, Shape, and Space: Teachers' Booklet" (PDF). 2008. Archived from the original (PDF) on 16 December 2018. Retrieved 2018-10-22.
• "Geometry - mathematics". Encyclopedia Britannica. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-09-16.
• "Phi in Sacred Solids". Sacred Geometry. 2012-11-28. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-10.
• ""Platonic solid - MATHEMATICS"". Encyclopedia Britannica. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-09-06.
• "Formula Derivations for Polyhedra". Whistler Alley Mathematics. 2016-01-21. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-24.
• "Platonic Solids". Whistler Alley Mathematics. 2011-12-29. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-10-22.
• "The Nobel Moment: Dan Shechtman". NIST. 2017-05-02. Archived from the original on 16 December 2018. Retrieved 2018-11-12.

• افراسیابی، مرضیه (۱۳۸۹). «نقد و بررسی افلاطون: رساله تیمائوس: تبیین ریاضیاتی افلاطون از عالم طبیعت». کتاب ماه فلسفه (۳۸): ۳–۱۰. بایگانی‌شده از اصلی در ۱۶ دسامبر ۲۰۱۸. دریافت‌شده در ۲۰۱۸-۰۹-۱۶.
• مازوچی، هادی (۱۳۸۸). «این هم مجموعه ای است . .». کتاب ماه علوم و فنون (۱۲۰): ۱۲–۲۹. بایگانی‌شده از اصلی در ۱۶ دسامبر ۲۰۱۸. دریافت‌شده در ۲۰۱۸-۰۹-۱۶.
• هاشمی، غلامرضا (۱۳۹۱). «نظری به جایگه هندسه و نقوش هندسی در آرا متفکران یونانی و مسلمان». کتاب ماه هنر (۱۶۵): ۲۶–۳۱. بایگانی‌شده از اصلی در ۱۶ دسامبر ۲۰۱۸. دریافت‌شده در ۲۰۱۸-۰۹-۱۶.